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6e année secondaire - 4 h

Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 8

Leçon 6: Intégration par changement de variable

La méthode du changement de variable

Cette méthode permet de trouver les primitives d'une fonction composée.

Trouver les primitives d'une fonction

f

, c'est trouver les fonctions

F

dont la dérivée est

f

. Parfois c'est immédiat. Par exemple, la dérivée de

x^{2}

est

2 x

donc

\int 2 x d x = x^{2} + C

. On trouve de même facilement les primitives de

\sin (x)

e^{x}

\frac{1}{x}

, etc.

Mais ce n'est pas toujours aussi simple. Par exemple, quelle serait votre réponse si vous deviez calculer

\int \cos (3 x + 5) d x

? Un indice : la réponse n'est pas

\sin (3 x + 5) + C

[Explication.]

Dans certains cas, on peut faire un changement de variable.

Calculer une intégrale indéfinie en faisant un changement de variable

Soit à calculer

\int 2 x \cos (x^{2}) d x

. On peut remarquer que

2 x

est la dérivée de

x^{2}

, et que la fonction

x

\mapsto

\cos (x^{2})

est la composée de la fonction

x

\mapsto

x^{2}

suivie de la fonction cosinus. Donc, si on pose

u (x) = x^{2}

w (x) = \cos (x)

, on a :

\overset{u^{'}}{\overset{⏞}{2 x}} \underset{w}{\underset{⏟}{\cos (\overset{u}{\overset{⏞}{x^{2}}})}} = u^{'} (x) w (u (x))

Comment procède-t-on ?

On dérive

u = x^{2}

par rapport à

x

u

étant une fonction implicite de

x

\begin{aligned} u & = x^{2} \\ \frac{d}{d x} [u] & = \frac{d}{d x} [x^{2}] \\ \frac{d u}{d x} & = 2 x \\ d u & = 2 x d x \end{aligned}

Donc

u = x^{2}

d u = 2 x d x

et on obtient :

\begin{aligned} \int 2 x \cos (x^{2}) d x \\ = \int \cos (\underset{u}{\underset{⏟}{x^{2}}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{2 x d x}} \\ = \int \cos (u) d u \end{aligned}

On doit maintenant trouver une primitive de

\cos (u)

, ce qui est facile. Puis on remplace

u

par son expression en fonction de

x

\begin{aligned} \int \cos (u) d u \\ = \sin (u) + C \\ = \sin (x^{2}) + C \end{aligned}

Donc,

\int 2 x \cos (x^{2}) d x = \sin (x^{2}) + C

. On peut dériver

\sin (x^{2}) + C

pour vérifier.

A retenir : Les fonctions que l'on peut intégrer en faisant un changement de variable sont toujours des fonctions composées.

La dérivée de $w (u (x))$ ‍ est $w^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$ ‍.
On fait un changement de variable quand on peut mettre en évidence une expression de la forme $w^{'} (u (x)) \times u^{'} (x)$ ‍ dont une primitive est $w (u (x))$ ‍.

A retenir : La variable

x

est remplacée par la variable

u

Exercice 1.A

Dans ce premier exercice, il s'agit d'utiliser un changement de variable pour calculer :

\int 6 x^{2} (2 x^{3} + 5)^{6} d x = ?

Peut-on mettre en évidence une fonction composée $u$ ‍ suivie de $w$ ‍, et quelle est l'expression de $u$ ‍ ?

Attention à bien identifier la fonction $u$ ‍ et à bien calculer $d u$ ‍

C'est le plus important ! Par exemple dans le premier exercice, il faut poser

u = 2 x^{3} + 5

. Rien ne peut fonctionner si on pose

u = 6 x^{2}

u = (2 x^{3} + 5)^{6}

A retenir : On doit écrire la fonction dont on cherche les primitives sous la forme

w (u (x)) \times u^{'} (x)

. C'est ce qui doit guider le choix de

u

Attention aussi en calculant

d u

, il ne faut pas faire d'erreur dans la dérivée de

u

Exercice 2

Gabriel devait calculer

\int \cos (5 x - 7) d x

. Voici sa réponse :

\int \cos (5 x - 7) d x = \sin (5 x - 7) + C

Sa réponse est-elle exacte ? Sinon, quelle erreur a-t-il fait ?

(Choix A)
Sa réponse est exacte.
(Choix B)
Il a fait une erreur : $\sin (x)$ ‍ n'est pas une primitive de $\cos (x)$ ‍
(Choix C)
Il a fait une erreur, il n'a pas vu que la fonction $x$ ‍ $\mapsto$ ‍ $\cos (5 x - 7)$ ‍ est une fonction composée.
(Choix D)
Il a fait l'erreur d'ajouter une constante $C$ ‍.

Attention à ne pas confondre $w (u (x))$ ‍ avec $w (x)$ ‍.

A ne pas oublier : Une primitive de la fonction

w

n'est pas aussi une primitive de la fonction composée

u

suivie de

w

W

est une primitive de

w

, il est certain que :

\int w (u (x)) d x \neq W (u (x)) + C

On ne peut utiliser cette méthode que si l'expression de la fonction à intégrer peut s'écrire sous la forme $u^{'} (x) \times w (u (x))$ ‍

Par exemple, dans le calcul de

\int x^{2} \cos (2 x) d x

, une erreur serait de penser que puisque

2 x

est la dérivée de

x^{2}

, on peut faire un changement de variable. Ici, pour que le changement de variable fonctionne, il faudrait que

x^{2}

soit la dérivée de

2 x

. Ce n'est pas le cas donc la méthode du changement de variable n'est pas applicable.

Parfois il faut utiliser l'artifice de multiplier et diviser par une même constante

Si on doit calculer

\int \sin (3 x + 5) d x

, on voit tout de suite que l'expression de la fonction à intégrer est de la forme

w (u (x))

, mais pour pouvoir appliquer la méthode, il faudrait qu'elle soit de la forme

u^{'} (x) w (u (x))

Mais si

u (x) = 3 x + 5

, alors

u^{'} (x) = 3

. Il suffit d'utiliser l'artifice de multiplier et de diviser par

3

\int \sin (3 x + 5) d x = \frac{1}{3} \int 3 \sin (3 x + 5) d x

Et le fait de multiplier par

\frac{1}{3}

, puis par

3

permet d'appliquer la méthode.

Voici le calcul :

\begin{aligned} \frac{1}{3} \int \sin (\underset{u}{\underset{⏟}{3 x + 5}}) \underset{d u}{\underset{⏟}{3 d x}} \\ = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u \\ = - \frac{1}{3} \cos (u) + C \\ = - \frac{1}{3} \cos (3 x + 5) + C \end{aligned}

A retenir : Il faut parfois multiplier et diviser l'expression de la fonction à intégrer par une même constante.

Exercice 3

\int (2 x + 7)^{3} d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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