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6e année secondaire - 4 h

Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 7 

Leçon 2: Calcul d'aire par une somme de Riemann
Mathématiques
6e année secondaire - 4 h
Intégrales et théorème fondamental de l'analyse
Calcul d'aire par une somme de Riemann
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La méthode des rectangles et la notation sigma

Google Classroom
Utiliser le signe somme.
Le signe somme ∑ est une notation pour symboliser une somme de plusieurs termes de manière synthétique. Il est utilisé par exemple dans le domaine des statistiques, des suites ou des séries.

Exemple d'écriture avec le signe somme quand on utilise la méthode des rectangles

Soit le domaine délimité par la courbe représentative Cf de la fonction f définie par f(x)=x et l'axe des abscisses sur l'intervalle [0,5 ;3,5]. On veut approximer l'aire de ce domaine.
Function y = the square root of x is graphed. The x-axis goes from 0 to 4. The graph is a curve. The curve starts at (0, 0), moves upward concave down, and ends at (4, 2). The region between the curve and the x-axis, between x = 0.5 and x = 3.5, is shaded.
Pour cela, on utilise des rectangles à droite avec quatre subdivisions égales.
The graph of function y has the shaded region divided into 4 rectangles of width 0.75. Each rectangle touches the curve at the top right corner.
On note A(i) l'aire du ième rectangle.
The area of the rectangles are A of 1, A of 2, A of 3, and A of 4.
La somme des aires des rectangles s'écrit :
A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)
On exprime A(i).
La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à 3,5−0,5=3. On veut le diviser en 4 sous-intervalles de même longueur. La largeur de chaque rectangle est donc égale à 3÷4=0,75.
La longueur  de chaque rectangle est égale à l'ordonnée de la borne supérieure de l'intervalle sur lequel il est construit (car il s'agit de rectangles à droite).
Soit xi la borne supérieure de l'intervalle sur lequel est construit le rectangle i. Pour déterminer xi quel que soit i, la borne inférieure sur lequel est construit le premier rectangle est x=0,5 et on ajoute l'amplitude de l'intervalle 0,75 pour obtenir la valeur de la borne supérieure.
The left side of the first rectangle is at x = 0.5. Add 0.75 4 times to get the sides of the rectangles, at x sub 1 to x sub 4.
On a donc xi=0,5+0,75i. On exprime la longueur de chaque rectangle qui est égale à f(xi) :
f(xi)=xi=0,5+0,75i
On obtient l'expression de l'aire du ième rectangle :
A(i)=largeur×longueur=0,75×0,5+0,75i
On additionne ces aires pour i variant de 1 à 4 :
=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=∑i=14A(i)=∑i=140,75×0,5+0,75i
Et la formule est démontrée !

Résumé : la méthode des rectangles et le signe somme

On veut approximer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [a ;b] en divisant l'intervalle en n subdivisions égales.
On définit Δx : on note Δx la largeur de chaque rectangle, Δx=b−an.
On définit xi : on note xi la borne supérieure de chaque subdivision, xi=a+Δx×i.
On définit l'aire du ième rectangle : la longueur  de chaque rectangle étant f(xi), l'aire du rectangle i est donc égale à Δx×f(xi).
On additionne les aires des rectangles : On utilise le signe somme. Attention ! i ne prend pas les mêmes valeurs pour des rectangles à droite et des rectangles à gauche :
  • Dans le cas des rectangles à droite, i varie de 1 à n.
  • Dans le cas des rectangles à gauche, i varie de 0 à n−1 (on obtient les bornes inférieures de chaque subdivision).
Rectangles à gaucheRectangles à droite
∑i=0n−1Δx×f(xi)∑i=1nΔx×f(xi)
Exercice 1.A
Dans cet exercice guidé, on va approximer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative Cf de la fonction f définie par f(x)=0,1x2+1 et l'axe des abscisses sur l'intervalle [2 ;7] en utilisant des rectangles à gauche et 10 subdivisions identiques.
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 1 to 9. The graph is a curve. The curve starts in quadrant 2, moves downward to a relative minimum at (0, 1), moves upward and ends in quadrant 1. The region between the curve and the x-axis, between x = 2 and x = 7, is shaded.
Quelle est la longueur, Δx, de chaque rectangle ?
Δx=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2
Soit le domaine délimité par la courbe représentative Cg de la fonction g définie par g(x)=5x+2 et l'axe des abscisses sur l'intervalle [1 ;7]. On veut approximer l'aire de ce domaine en utilisant des rectangles à droite et 9 subdivisions identiques.
Function g is graphed. The x-axis goes from negative 1 to 7. The graph is a curve. The curve starts in quadrant 1, moves downward concave up, and ends in quadrant 1. The region between the curve and the x-axis, between x = 1 and x = 7, is shaded. The shaded region is divided into 9 rectangles of equal width. Each rectangle touches the curve at the top right corner.
Quelle est la valeur approchée de l'aire de ce domaine ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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