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6e année secondaire - 4 h
Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 7
Leçon 2: Calcul d'aire par une somme de Riemann- La méthode des rectangles
- Utiliser la méthode des rectangles
- Encadrer une aire en utilisant la méthode des rectangles
- Quelques exercices portant sur la méthode des rectangles
- Comparaison des différentes valeurs approchées de l'intégrale obtenues en utilisant la méthode des rectangles
- Utiliser la méthode des rectangles
- La méthode des rectangles
- La méthode des rectangles et la notation sigma
- La méthode des rectangles et la notation sigma
- La méthode des rectangles avec la notation sigma - Exemple
- La méthode des rectangles et la notation sigma
La méthode des rectangles et la notation sigma
Utiliser le signe somme.
Le signe somme est une notation pour symboliser une somme de plusieurs termes de manière synthétique. Il est utilisé par exemple dans le domaine des statistiques, des suites ou des séries.
Exemple d'écriture avec le signe somme quand on utilise la méthode des rectangles
Soit le domaine délimité par la courbe représentative de la fonction définie par et l'axe des abscisses sur l'intervalle . On veut approximer l'aire de ce domaine.
Pour cela, on utilise des rectangles à droite avec quatre subdivisions égales.
On note l'aire du rectangle.
La somme des aires des rectangles s'écrit :
On exprime .
La longueur de l'intervalle de définition de la fonction est égale à . On veut le diviser en sous-intervalles de même longueur. La de chaque rectangle est donc égale à .
La de chaque rectangle est égale à l'ordonnée de la borne supérieure de l'intervalle sur lequel il est construit (car il s'agit de rectangles à droite).
Soit la borne supérieure de l'intervalle sur lequel est construit le rectangle . Pour déterminer quel que soit , la borne inférieure sur lequel est construit le premier rectangle est et on ajoute l'amplitude de l'intervalle pour obtenir la valeur de la borne supérieure.
On a donc . On exprime la chaque rectangle qui est égale à :
On obtient l'expression de l'aire du rectangle :
On additionne ces aires pour variant de à :
Et la formule est démontrée !
Résumé : la méthode des rectangles et le signe somme
On veut approximer l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle en divisant l'intervalle en subdivisions égales.
On définit : on note la de chaque rectangle, .
On définit : on note la borne supérieure de chaque subdivision, .
On définit l'aire du rectangle : la de chaque rectangle étant , l'aire du rectangle est donc égale à .
On additionne les aires des rectangles : On utilise le signe somme. Attention ! ne prend pas les mêmes valeurs pour des rectangles à droite et des rectangles à gauche :
- Dans le cas des rectangles à droite,
varie de à . - Dans le cas des rectangles à gauche,
varie de à (on obtient les bornes inférieures de chaque subdivision).
Rectangles à gauche | Rectangles à droite |
---|---|
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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