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Fonction définie par une intégrale

Où l'on découvre que l'on peut définir une fonction à l'aide d'une intégrale définie. Ensuite on apprend à calculer les valeurs prises par une fonction définie de cette manière.

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Transcription de la vidéo

ça fait maintenant pas mal d'années que tu travailles avec des fonctions donc tu sais que en fait une fonction ça consiste à associer à un nombre x qui appartient au domaine de définition de la fonction un autre nombre qu'on appelle f 2 x par un procédé de calcul qui peut être n'importe lequel donc la fonction fl associés à chaque nombre du domaine de définition son image qu'on note comme ça f 2 x alors il ya plusieurs façon de définir une fonction tu pourrais très bien dire par exemple que la fonction f elle est telle que le nom bref 2x donc l'image de x par cette fonction f et bien c'est x au carré donc ce que ferait cette fonction là c'est prendre un nombre et l'élever au carré calculez le carré de ce nombre il ya d'autres façons de définir des fonctions pourraient aussi par exemple définir une fonction comme ça en disant que l'image d'un nombre x et bien c'est disons x au carré 6 x 6 x est un nombre pair un entier perd donc un entier père et puis si x n'est pas un entier père est bien fdx a sera x occupe ça veut dire que elle manque tu prends un nombre x n'importe lequel si c'est un nombre pair tu calcules son carré si ce n'est pas un nombre pair dont pour n'importe quel autre nombre réel qui n'est pas un entier perds tu calcules son cube voilà donc ça c'est une autre façon de définir une fonction qui marche très bien et dans cette vidéo ce qu'on va faire c'est voir une nouvelle façon de définir des fonctions alors je dis nouvelle n'est peut-être que tu en as déjà entendu parler à partir d'une intégrale défini alors j'ai fait un petit dessin dont on va servir ici le voilà donc ici j'ai représenté la courbe représentatif d'une fonction f d'une certaine fonction f et tu vois que j'ai noté la variable non pas x mais t'es tu vas voir pourquoi et en fait donc ici ce qu'on a c'est la courbe d'équations y égale f de thé voilà c'est une manière tout à fait normal de définir une fonction on peut calculer pour chaque valeur de thé son image par exemple l'image de -1 donc f 2 - 1 c'est à peu près 5 5 f 2 - deux c6 f-22 c5 f24 ces trois et ainsi de suite tu vois que c'est vraiment quelque chose que tu as l'habitude de faire et en fait à partir de cette fonction-là don de cette fonction f je vais introduire une nouvelle fonction que je vais appeler g et j'ai 2 x cette fois-ci j'appelle la variable x eh bien ça va être une intégrale défini deux par exemple - 2 jusqu'à x de la fonction f de thé dt voilà ça paraît un peu bizarre ici ce qu'on a c'est une intégrale défini entre deux valeurs de -2 à x mais tu vois qu en fait l'image d'un nombre x par la fonction g et bien c'est l'intégrale de -2 jusqu'à x jusqu'à cette valeur-là de la fonction f de thé donc on va explorer ça un petit peu je vais faire un tableau de valeur et on va essayer de calculer les images de quelques valeurs par la fonction j'ai alors je vais faire un tableau de valeur et ici je vais mettre les valeurs de x et puis ici les images par la fonction j'ai alors si on prend par exemple x égal à 1 on va donc calculé j'ai 2 1 et j'ai 2 1 et bien on va juste lire cette définition l'art qui nous dit qu'on doit calculer l'intégrale de -2 à 1 qu'est la borne supérieure d'intégration de la fonction f de thé dt je fais finalement c'est vraiment remplacer la borne supérieure de mon intégral par la valeur donc je veux calculé l'image d'ailleurs si tu veux on peut la calcul est assez facilement en fait cette intégrale définit elle représente l'ère de la portion de planquer sous la courbe au dessus de l'axé des abscisses et entre les droites alors je vais prendre une couleur un peu plus marquée entre cette droite là x égales - 2 et cette droite là x égale 1 1 donc en fait c'est toute cette partie de plans dont on va calculer l'air en calculant cette intégrale définit ici alors on peut le faire assez facilement ici je peux découper cette zone là en deux parties il ya cette première partie là qu'est ce rectangle ce rectangle là et ce rectangle là donc il a une largeur de trois unités et une hauteur de 5 donc son rc 15 et puis il y à ce triangle rectangle ici ce triangle rectangle qui est là donc il a une largeur de 2 et une hauteur de 1 donc son rc 2 x 1 sur 2 c'est à dire un c'est la formule de l'herbe triangle donc finalement cette intégrale définit ici et bien elle est égale à 16,15 +1 16 et donc g21 l'image de 1 par la fonction j'ai bien ses 16 alors on va faire un autre exemple on va prendre la valeur x égal 2 et donc on va calculer j'ai 2 2 alors mais la vidéo sur pause et essaye de le faire de ton côté et puis on se retrouve tout de suite donc là je vais faire exactement la même chose en fait je vais remplacer dans cette expression là l'intégrale de -2 à x je vais remplacer x par deux donc je vais obtenir l'intégrale de - 2 à 2 de la fonction f de thé dt et donc exactement comme tout à l'heure en fait ça ça correspond à calculer l'ère de la portion de blanc qui est sous la courbe de la fonction f au dessus de l'axé des abscisses et entre les droites d'équations x égales - 2 et x égal 2 qui est celle là donc en fait j'ai 2 2 correspond à l'air de toute cette partie là que je hachures ici en bleu et tu vois que finalement on peut le calculer très facilement c'est l'ère de la partie de tout à l'heure on vient de calculer qui est égale à 16 là que j'avais juré en orange plus l'air de ce rectangle qui est donc un rectangle de largeur 1 et de hauteur 5 donc ça c'est cinq unités d'air et donc finalement j'ai 2 2 et bien c'est 16 + 5 ça fait 21 voilà donc j'espère que cette petite exploration tu auras aider à comprendre ce qu'on fait et la clé vraiment c'est de comprendre qu'on peut définir une fonction en utilisant une intégrale défini et bien sûr il faudra faire attention dans ce cas là au fait que la variable d'intégration ici et t elle ne peut évidemment pas être la même que la variable qu'on utilise pour définir notre fonction qui est ici la variable x