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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 7 

Leçon 4: Les propriétés des intégrales

Intervertir les bornes d'intégration

Que se passe-t-il lorsqu'on inverse les bornes d'une intégrale ?

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Transcription de la vidéo

alors on a vu dans d'autres vidéos une définition de l'intégrale défini d'une fonction f entre deux points a et b et on a vu en fait que ça représente l ère de la portion de plans qui était celle ci qui est situé sous la courbe d'équations y est ghallef 2x est au dessus de l'axé des abscisses et puis entre ces deux droite laïque segal a et x et galbées et ce qu'on avait vu c'est qu'en fait on pouvait donner une valeur rapprocher de cet air là en la divisant en n petit rectangle alors je peux par exemple dessiner un premier rectangle qui va être celui là voilà un deuxième rectangle ici m d'ici donc là j'ai un premier rectangle un deuxième un troisième et ainsi de suite comme ça le dernier sera celui là voilà alors ici j'ai dessiné des rectangles qui ont tous la même largeur ça c'est important ça en fait on avait vu dans la définition qu'on avait donné que c'était pas nécessaire de faire cette hypothèse là que tous les rectangles ont la même largeur mais ici c'est ce que je vais faire je vais supposer qu'en fait cette largeur la des communes à tous les rectangles je vais l'appeler delta x tel taïx du coup la largeur commune de tout mais rectangle et comme j'en ai fait n ici j'ai divisé ma surface en n rectangle tous de largeur delta x et bien effectivement je peux calculer la valeur de ce delta x delta x et bien c'est l'amplitude de cet intervalle divisé en deux parties donc d'état x c'est la longueur paix - ça / n qu'est le nombre de rectangle avec lesquels j'ai recouvert toute ma surface et donc effectivement on peut approcher l'air de cette surface là on m'a dit ce yo nan les airs de tous ces rectangles et donc ce qu'on obtient c'est la somme pourri qui va de 1 jusqu'à n2f de x ou y x d'état x alors quand même pour te rappeler un petit peu ici j'ai donc divisé le segment entre a et b en plusieurs parties j'ai placé des points le premier c'est x 1c à celui là c'est x 2 celui-là cx3 ici cx4 ainsi de suite et le dernier point que je vais considérer c'est celui là qui est x ncx n en fait les points que je considère et bien ce sont les sommets inférieure du côté gauche de chacun de mes rectangle donc ça c'est bien l'air de tous ces rectangles que je j'additionne est ce qu'on avait vu en fait c'est que l'intégrale entre a et b de la fonction f et bien en fait c'était la limite quand n temps vers plus l'infini de cette somme là et ici bien sûr le delta x qui hélas ce delta x et bien c'est celui ci donc je vais le placer ici voilà alors maintenant ce que je voudrais faire c'est essayer de comprendre ce que peut vouloir dire l'intégrale de f non pas entre a et b mais entre b et a donc l'intégrale entre b et hm2f de x dx voilà et tu vois dans cette intégrale en fait la seule chose que j'ai fait c'est intervertir les bornes d'intégration alors en fait pour essayer de comprendre ce qu'est cette intégrale à ce qu'elle signifie et bien je peux utilise exactement la même définition tout à l'heure donc divisé mon air en n petit rectangle et je vais obtenir quelque chose de tout à fait équivalent à ça alors je vais le copier c'est un petit peu plus vite comme ça et donc l'intégrale de baa2 f2 xd x eh bien je vais la définir avec quelque chose de ce genre là et ce qui va changer par rapport à ici c'est que ce delta x ce delta x qui est là et bien finalement je vais devoir leur calculer et tout à l'heure on l'a calculé en disant que deltaïques c'était la borne finale d'intégration - la borne initial d'intégration des moises à suresnes est ici d'état x et bien c'est la bande finale d'intégration qui est à cette fois-ci - la borne initial qui est b donc ca moi b suresnes et ça c'est important parce que finalement ce delta x qui est ici et ce delta x qui est là et bien ils sont opposés l'un de l'autre donc tu pourrais imaginer ici remplacé ceux d'etats x par celui là mais il faudrait ajouter un signe - et ce signe - en fait tu peux le factoriser le faire sortir de la somme est ici par contre il faut bien se rendre compte que tout le reste était qui est égale 1 f ii x6 ici est égal à eve 2 x il a donc finalement ce qu'on peut en déduire c'est que l'intégrale entre bea de la fonction f et bien c'est l'opposé de l'intégrale de f entre a et b en fait c'est construire des rectangles qui sont les mêmes dans les deux cas mais dans ce deuxième cas on prend une largeur deltaïques ce qui est négative qui est l'opposé de cette largeur qu'on avait prises ici voilà alors c'est une relation celle ci je vais l'encadrer cette relation là c'est une relation qui est très importante déjà pour donner du sens à un certain nombre d' intégral et puis aussi pour calculer certaines intégral tu verras que ça peut être utile