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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 4 

Leçon 3: Reconnaître une croissance exponentielle

Croissance linéaire ou croissance exponentielle 1

Variation exponentielle versus variation linéaire

La variation d'une fonction affine est dite "linéaire" alors que la variation d'une fonction de la forme xabx est dite "exponentielle". Pour expliquer ce dont il s'agit, on considère deux valeurs de la variable x1 et x2 telles x2x1=C, où C est une constante, et leurs images y1 et y2, soit par une fonction affine, soit par une fonction de la forme xabx.
  • Si la fonction est une fonction affine, quels que soient y1 et y2, la différence y2y1 est constante.
  • Si la fonction est une fonction de la forme xabx, quels que soient y1 et y2, le quotient y2/y1 est constant.

Exemples

Exemple 1 : Une fonction dont la variation est linéaire

Voici un tableau de valeurs d'une fonction :
x12151821
y251219
On passe d'une valeur de x à la suivante en ajoutant 3. Quels que soient x1 et x2, on a x2x1=3
x+3+3+3
12151821
Quelles que soient les valeurs correspondantes de leurs images y1 et y2, on a y2y1=7. Chacune des valeurs de y est la somme de la valeur précédente et de 7.
y+7+7+7
251219
Si la différence entre deux valeurs de la variable est constante, alors la différence entre leurs images est constante aussi. On peut en déduire que cette fonction est une fonction affine.

Exemple 2 : Une fonction dont la variation est exponentielle

Voici un tableau de valeurs d'une fonction :
x0123
y13927
On passe d'une valeur de x à la suivante en ajoutant 1. Quels que soient x1 et x2, on a x2x1=1
x+1+1+1
0123
Quelles que soient les valeurs correspondantes de leurs images y1 et y2, on a y2/y1=3. Chacune des valeurs de y est le produit de la valeur précédente et de 3.
y×3×3×3
13927
Si la différence entre deux valeurs de la variable est constante, alors le quotient de leurs images est constant. On peut en déduire que cette fonction est une fonction de la forme xabx.

Exemple 3 : Une fonction dont la variation n'est ni linéaire, ni exponentielle

La variation d'une fonction peut n'être ni linéaire, ni exponentielle
Voici un tableau de valeurs d'une fonction :
x2468
y491625
On passe d'une valeur de x à la suivante en ajoutant 2. Quels que soient x1 et x2, on a x2x1=2
x+2+2+2
2468
Les différences entre les valeurs correspondantes de y ne sont pas égales entre elles.
y+5+7+9
491625
et les quotients des valeurs correspondantes de y ne sont pas non plus égaux entre eux.
y×94×169×2516
491625
Cette fonction n'est ni une fonction affine, ni une fonction de la forme xabx.

À vous !

Exercice 1
x0123
y5101520
Compléter.
Sachant qu'une fonction de la forme xabx est appelée une fonction exponentielle, alors la fonction qui à x fait correspondre y est une fonction
car chacune des valeurs de y est
de la valeur précédente et de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.

Exercice 2
x0123
y261854
Compléter.
Sachant qu'une fonction de la forme xabx est appelée une fonction exponentielle, alors la fonction qui à x fait correspondre y est une fonction
car chacune des valeurs de y est
de la valeur précédente et de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.

Exercice 3
Compléter.
Sachant qu'une fonction de la forme xabx est appelée une fonction exponentielle, alors la fonction qui à x fait correspondre y est une fonction
car chacune des valeurs de y est
de la valeur précédente et de
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
.

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