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6e année secondaire - 4 h

Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 5

Leçon 3: Changement de base du logarithme

La formule du changement de base

On cherche la valeur de

\log_{2} (50)

. Or

50

n'est pas une puissance de

2

, donc c'est difficile à calculer sans l'aide de la calculatrice.

Mais les calculatrices donnent les logarithmes décimaux (base

10

) et les logarithmes népériens (base

e

). Donc pour calculer

\log_{2} (50)

, il faut commencer par changer de base.

Formule de changement de base

On peut changer la base de tout logarithme grâce à cette formule :

Remarques :

La formule est valable quelle que soit la base $x$ ‍.
Les arguments sont positifs et les bases sont positives et différentes de $1$ ‍.

Exemple : Calculer $\log_{2} (50)$ ‍

Pour pouvoir calculer un logarithme à la calculatrice, il faut changer de base en utilisant soit la base

10

ou la base

e

On change donc de base pour exprimer

\log_{2} (50)

en base

10

On applique la formule de changement de base avec

b = 2

a = 50

x = 10

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & car \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}

Et on fait travailler la calculatrice :

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5,644

[Et si on essayait avec ln ?]

À vous !

Exercice 1

Calculer $\log_{3} (20)$ ‍.
Arrondir au millième.

Exercice 2

Calculer $\log_{7} (400)$ ‍.
Arrondir au millième.

Exercice 3

Calculer $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Arrondir au millième.

D'où vient cette formule de changement de base ?

Là, vous vous dites sûrement, "C'est génial ! Mais comment ça marche ?"

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

On commence par un exemple. En utilisant la formule ci-dessus, on obtient que

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

On pose

\log_{2} (50) = n

. Par définition du logarithme de base

2

, on en déduit que

2^{n} = 50

. Puis :

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & si A = B, alors \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & on a divisé les deux membres par \log (2) \end{aligned}

n = \log_{2} (50)

, donc

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

On démontre la formule de changement de base de la même façon. Il suffit de remplacer

2

par

b

50

par

a

et... c'est démontré !

[Comment ?]

D'autres exercices

Défi 1

Calculer $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ sans calculatrice.

Défi 2

$\log (6) \times \log_{6} (a)$ ‍ est égal à :

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brahim zaidi
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de brahim zaidi «bien expliqués merci beau ... »
bien expliqués merci beaucoup
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Pierre Buatois
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de Pierre Buatois «pouvez vous donner acces ... »
pouvez vous donner acces à une calculatrice
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