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Approximation affine - exemple 2

L'approximation affine de ln(x²) au voisinage de e. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va s'intéresser un autre exemple d'application de l'approximation linéaire et tu vas voir qu'on va traiter cela un peu différemment tu as cette fonction f2 xd gaal hendrix carré et on pose elle est l 2 x l'approximation linéaire de fo voisinage du nombreux et on te demande de trouver la proximité pression de cette approximation linéaire quel que soit x au voisinage de hockey alors au voisinage de elle ressemble à quoi cette fonction et hélène je vais faire un super zoom ou ici je le point d'apsys e et f 2 e il est facile à calculer f 2 x est égal à l aine de x car et donc c'est égal à 2 hélène de xrf 2e c'est donc égale à 2 hélène de ln2 est égal à 1 donc on a le point d'apsys eu deux et ensuite imaginons qu'on se place à un point d'apsys x au voisinage de 2e et qu' on cherche à approximer f 2 x donc ici on a à la valeur exacte de f2 x mais on va trouver la valeur approché en traçant la tangente passant par ce point vert qui a donc une un coefficient directeur de f prime 2 qui va nous être utile plus tard et on va chercher leurs données de ce point là qui est qui est proche de f2 x mais il ya une certaine marge d'erreur entre entre leurs données de ce point et f2 x qu'on va accepter c'est justement là l'erreur de notre approximations et ce point il a pour coordonner x est ce qu on appelle l 2 x cette approximation linéaire delà de la fonction au voisinage de e alors pour trouver une expression de l 2 x que ce dont on va avoir besoin on va écrire que la dérive et 2f évalués au point d'apsys eux est égal à la différence d ordonner l 2 x - 2 / la différence des abscisses x - e donc d'abord évaluons f primes de x f primes de x est égal à tout simplement deux fois 1 sur x donc deux sur x et donc f prime 2 e est égal à 2 sur eux conclusion l 2 x l2 et que c'est égal à quoi on va on va prendre f prime 2e ici qui avait que le coefficient directeur de cette droite et on va exprimer f prime 2 e en fonction de désordonné des abscisses des deux points qui sont sur cette droite d'équations y est égal à elle 2 x donc affrime de est égal à la différence d ordonner l 2x moins 2 / la différence des abscisses c'est à dire x - e xx - euh ok donc on n'a plus qu'à isoler l 2 x et on obtient quoi on obtient l 2 x est égal à alors f prime 2e donc ces deux sur eux x x 2 sur x x - eux donc là j'ai multiplié des deux côtés par x - eux et ensuite je dois additionner deux des deux côtés et ainsi j'ai complètement isolée elle 2x donc l 2 x est égal à quoi c'est égal à 2 sur eux x x - 2 sur x e donc moins 2 + 2 donc le moins deux est le plus de vont s'annuler il me reste tout simplement deux sur eux x x et voilà l'approximation linéaire de f2 x et qui me permettra par exemple d'approché de trouver une valeur approcher de l aisne 2e plus 0,1 au carré grâce à cette approximation linéaire je sais que c'est à peu près égale à elle 2 e plus 0,1 donc quelque part au voisinage de e est ce l 2 e plus 0,1 il est égal à 2 sur eux x e + 0 1 2 sur eux x e plus 0,1 1,2 sur x e ça fait deux donc on a deux plus deux fois 0,1 sur e.on à 0,2 sur eux et voilà conclusion la l'approximation linéaire de ln2 x carrés au voisinage de e eh bien ça nous donne cette expression l 2 x est égal à 2 sur eux x x