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6e année secondaire - 4h

Cours : 6e année secondaire - 4h > Chapitre 6 

Leçon 2: Fonctions réciproques : Les comprendre et les déterminer
Mathématiques
6e année secondaire - 4h
Liens entre l'exponentielle et le logarithme
Fonctions réciproques : Les comprendre et les déterminer
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Établir l'expression de la fonction réciproque

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Apprendre à définir la fonction réciproque d’une fonction donnée. Par exemple, trouver la fonction réciproque de f (x) = 3 x + 2.
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f, start superscript, minus, 1, end superscript.
Par définition, f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a.
Comment déduire de l'expression d'une fonction f, celle de sa fonction réciproque ?

Préambule

La première fonction traitée est la fonction affine définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2.
Une question : comment fait-on pour calculer, par exemple, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis ?
Par définition, si f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x, alors f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, donc l'image de 8 par la fonction f, start superscript, minus, 1, end superscript est le nombre qui a comme image 8 par la fonction f.
f(x)=3x+28=3x+2On a remplaceˊ f(x) par 86=3xOn a soustrait 2 dans les deux membres2=xOn a diviseˊ les deux membres par 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ 8 &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{On a remplacé $f(x)$ par $8$}}} \\\\6&=3x &&\small{\gray{\text{On a soustrait $2$ dans les deux membres}}}\\\\ 2&=x &&\small{\gray{\text{On a divisé les deux membres par $3$}}} \\\\ \end{aligned}
Donc f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8 et f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2.

Établir l'expression de la fonction réciproque

On peut généraliser ce que l'on vient de faire pour trouver f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis pour toute valeur de y.
Par définition, si f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, x, alors f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y, donc l'image de y par la fonction f, start superscript, minus, 1, end superscript est le nombre x qui a comme image y par la fonction f.
f(x)=3x+2y=3x+2On a remplaceˊf(x) par yy−2=3xOn a soustrait 2 dans les deux membresy−23=xOn a diviseˊ les deux membres par 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ y &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{On a remplacé} f(x) \text{ par }y}} \\\\y-2&=3x &&\small{\gray{\text{On a soustrait 2 dans les deux membres}}}\\\\ \dfrac{y-2}{3}&=x &&\small{\gray{\text{On a divisé les deux membres par 3}}} \end{aligned}
Donc f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.
La variable est une variable muette donc on peut aussi écrire f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction.

À vous !

1) Une fonction affine

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5, question mark
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

2) Une fonction cube

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, question mark
h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

3) Une fonction racine cubique

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, times, cube root of, x, end cube root, space, question mark
f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

4) Une fonction rationnelle

Quelle est l'expression de la fonction réciproque de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, space, question mark
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Un dernier exercice

Associer à chacune de ces fonctions le type de sa fonction réciproque.
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