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Fonctions réciproques l'une de l'autre

Qu'appelle-t-on la fonction réciproque d'une fonction donnée ? Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques.
On dit fonctions réciproques l'une de l'autre car si la fonction g est la réciproque de la fonction f, alors f est la réciproque de g.
Par exemple, la fonction f dont le diagramme sagittal est ci-dessous est la fonction qui à 1 fait correspondre x, à 2 fait correspondre z et à 3 fait correspondre y,
La fonction réciproque de f, notée f1, est la fonction qui à x fait correspondre 1, à z fait correspondre 2 et à y fait correspondre 3, L'ensemble de départ de la fonction f1 est l'ensemble d'arrivée de la fonction f et son ensemble d'arrivée est l'ensemble de départ de la fonction f.
Une question
Laquelle de ces deux propositions est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Définition

Si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction f1 est a.
On en déduit que :

f(a)=bf1(b)=a

Voici deux exemples d'application de cette définition.

Exemple 1 : Une fonction donnée par son diagramme saggital

Soit la fonction h définie par ce diagramme sagittal. Quelle est l'image de 9 par la fonction h1 ?

Réponse

Il faut bien avoir présent à l'esprit que les éléments de l'ensemble de définition de la fonction réciproque d'une fonction donnée sont les éléments de l'ensemble image de la fonction donnée.
Par définition, si h1(9)=x, alors h(x)=9, donc l'image de 9 par la fonction h1 est le nombre qui a comme image 9 par la fonction h.
On lit sur le diagramme sagittal de la fonction h que h(6)=9, donc h1(9)=6.

À vous !

Exercice 1
g1(3)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2 : Une fonction donnée par sa courbe représentative

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g. Quelle est l'image de 7 par la fonction g1 ?

Réponse

Par définition, si g1(7)=x, alors g(x)=7, donc l'image de 7 par la fonction g1 est le nombre qui a comme image 7 par la fonction g.
On lit sur le graphique que g(3)=7.
Donc, g1(7)=3.

À vous !

Exercice 2
Quelle est l'image de 4 par la fonction h1 ?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
f est la fonction définie par f(x)=3x2. Quelle est l'image de 7 par f1 ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

On peut se demander si les courbes représentatives de deux fonctions réciproques ont une propriété particulière.
Soit la fonction f dont on donne la courbe représentative et un tableau de valeurs.
xf(x)
214
112
01
12
24
On peut déduire d'un tableau de valeurs de la fonction f un tableau de valeurs de la fonction f1. Et de chacun des points de la courbe représentative de f, on peut déduire un point de la courbe représentative de f1, car si le point de coordonnées (a ;b) est sur la courbe de f, alors le point de coordonnées (b ;a) est sur la courbe de f1.
On obtient :
xf1(x)
142
121
10
21
42
Si on représente les deux courbes sur le même graphique, on voit qu'elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y=x.
Ceci est un résultat général : les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

À vous !

Exercice 3
Voici la droite d'équation y=h(x).
Sur lequel de ces graphiques est représentée la droite d'équation y=h1(x) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
La représentation graphique de la fonction h est le segment de droite d'extrémités les points de coordonnées (5 ;1) et (2 ;7).
Déplacer les extrémités du segment jaune de façon à obtenir la représentation graphique de la fonction h1.

Quelle est l'utilité d'étudier la fonction réciproque ?

Si à priori cela peut paraître un pur jeu de l'esprit, en fait on s'en sert très souvent !
Un exemple simple : pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule C=59(F32).
Quand on utilise cette formule, on utilise la fonction qui à F, valeur de la température en degrés Fahrenheit, fait correspondre C, sa valeur en degrés Celsius. Quand on transforme cette formule pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit on obtient F=95C+32, et ceci est l'expression de la fonction réciproque de la fonction précédente.
Et chaque fois que connaissant y en fonction de x, on en déduit l'expression de x en fonction de y, c'est la même idée qui est en jeu.

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