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Contenu principal
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Transcription de la vidéo

un jeu de 36 cartes est composé de quatre couleurs les coeurs les carreaux les trèfles et les pics à c'est comme d'habitude et dans chaque couleur les cartes sont numérotées de 1 à 9 alors y'a pas droit à deux vallées de rennes mais bon c'est des cartes numérotées de 1 à 9 une main est une collection de neuf cartes distribuées au hasard que le joueur peut ranger dans l'ordre qu'il souhaite bon c'est assez normal quand on nous distribue des cartons peu les rangées comme on veut et on nous demande combien demain différents peut-on formé avec ce jeu alors bon bah on va faire comme d'habitude comme on a fait dans les autres vidéos on va supposer qu'on a des emplacements alors on a d'abord donc on a neuf emplacements un pour chaque carte le premier remplacement le deuxième emplacement le troisième emplacement le quatrième le cinquième le sixième le septième le 8e et le 9e voilà donc ça ça va être notre main de neuf cartes et puis alors maintenant on va remplir le premier remplacement lors pour remplir le premier remplacement alors il ya comme il ya 36 cartes au total dans le jeu ici on a trente six façons de le faire alors ensuite quand on doit remplir le deuxième emplacement qui est ici eh bien on a une carte en moins puisqu'on a déjà choisi une carte dans le première pour le premier emplacement donc ici on a plus que 35 cartes et puis après pour le troisième emplacement on a plus que 34 33 pour le 2e 4e et ainsi de suite 32 ici trente et une ici prends tu là et puis 29 pour le huitième en placement et 28 pour le dernier remplacement qu'est le 9e voilà alors là évidemment on est tenté de répondre que le nombre de mains différentes qu'on peut former avec ce jeu c'est le produit de toutes ces possibilités là à dire qu'on est tenté de répondre que c'est 36 soit 35 fois 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28 voilà et effectivement ça serait la bonne réponse si on tenait compte de l'ordre c'est à dire que si on peut supposer que demain qui sont constitués des mêmes cartes mais dans un désordre différences sont différentes à ce moment là effectivement ce serait la bonne réponse je vais préciser ça si par exemple on avait une main qui était constitué comme ça ici on avait par exemple 8 de carreaux en première position et puis ensuite si on avait une autre carte ici en deuxième position est en fait en fait huit autres cartes quelconque la 1 2 3 4 5 6 7 8 ça ça serait une main et puis cette autre main là qui serait constitué des mêmes cartes 1,2 des mêmes huit cartes 1 2 3 4 5 6 7 8 et puis du 8 de carreaux à la fin donc exactement les mêmes cartes mais simplement celui qu'a et ce mythe de carreaux dans une position différente eh bien si on considérait que demain de ce genre là étaient différentes à ce moment là il se produit là serait effectivement le nombre de mains différentes qu'on peut former avec ce jeu mais ici on nous dit que le joueur peut ranger dans l'ordre qu'il souhaite les cartes de la main le joueur peut ranger dans l'ordre qu'il souhaite ça veut dire que effectivement on va considérer que deux mains de ce genre là ce sont les mêmes c'est tout à fait normal c'est ce qu'on a l'habitude de faire quand on nous distribue des cartons les ordonne dans la manne de la manière qui nous arrange voilà alors maintenant ce qu'est ce que ça veut dire c'est que si on veut répondre à notre question donc si on veut voir combien de mains différentes on peut former avec ce jeu là eh bien il va falloir diviser ce nombre-là par le nombre de mains formé par les mêmes cartes arranger d'une manière différente donc en fait ce qu'on va faire c'est diviser ce nombre qu'on a écrit ici donc ce produit-là 36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28 on va le diviser par le nombre de permutations possible de neuf cartes puisque effectivement ce nombre de permutations possible de neuf cartes ça sera le nombre de mains composé des mêmes cartes dans des ordres différents alors on va arrêter de calculer ce nombre là donc on va reprendre nos neuf emplacements et ici on va avoir par exemple pour remplir le premier emplacement en a neuf possibilités pour remplir le deuxième emplacement en a huit possibilités pour remplir le troisième on a cet empire le quatrième 6 pour remplir le cinquième en cinq pour remplir le sixième emplacement on n'a plus que quatre possibilités le 7è nous reste trois possibilités et puis le huitième il nous reste deux possibilités et le 9ème le neuvième emplacement mais il reste plus qu'une seule carte à placer alors voilà quand on fait le produit de toutes ces possibilités la 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 et bien ça c'est un nombre qu'on appelle 9 factorielle et ça représente le nombre de permutations permutation de neuf cartes de neuf éléments voilà et du coup pour avoir la réponse à notre question il faut qu'on divise ce nombre là par neuf factorielle alors voilà ça c'est la réponse à la question en fait quand on fait cette opération là on fait ce produit-là 36 x 35 x 34 jusqu'à la fois 28 et on divise par neuf factorielle c'est à dire par la perte par les permutations de neuf cartes et bien c'est de cette manière là on ne compte pas à plusieurs fois des cartes des mains identique et on trouve la réponse à la question alors bon ça c'est un nombre énorme vraiment très très grand on va essayer de le calculer je suis pas sûr que la calculatrice puisse calculer un nombre aussi gros on va essayer alors on va déjà écrire le numérateur donc ses 36 x 35 x 34 x 33 x 32 31 x 30 x 29 x 28 et ensuite il faut diviser ça alors là on pourrait écrire directement de facto elle ce que je vais faire ce que je veux ouvrir une parenthèse et je vais écrire 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 donc ça c'est le factorielle je ferme la parenthèse j'ai vérifié 36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28 ça c'est bien le dénominateur le numérateur saab ont hélas 9 x 8 x cette fois ci soit 5 x 4 x 3 x 2 x 1c 9 factorielle ça marche alors on va calculer j'espère que ça dépasse pas les limites de la calculatrice et ça marche alors on obtient ce nombre-là 94 millions 140 3280 je vais l'écrire 94 millions 140 3280 94 millions 140 3280 voilà ça c'est le nombre de mains de neuf cartes différentes sans tenir compte de l'ordre qu'on peut faire avec ce jeu de cartes alors voilà on a répondu à la question en raisonnant mais bon pour faire ce genre de raisonnement il ya une formule qu'on peut appliquer directement si on la sait on va essayer de la retrouver là alors on fait ce qu'on avait ici quand on regarde cette cette partie là le numérateur de notre de notre réponse c'est le début de 36 factorielle en fait la situation c'est qu'on va essayer de choisir neuf éléments parmi 36 donc ça on va noter comme ça ici ont choisi neuf éléments parmi 36 et puis on va le faire sans tenir compte de l'ordre c'est à dire que c'est ce qu'on a fait ici si on a choisi deux mains qui sont consiste qui sont constitués des mêmes des mêmes cartes mais dans un ordre différent seront considérés comme les mêmes alors ici ce qu'on avait c'est qu'on avait un numérateur qui ressemblait à 36 factorielle en fait ça c'est le début de 36 factorielle mais 36 factorielle ça serait ça continuerait on devrait ici x 27 par 26 par 25 et tout ça jusqu'à 1 ça serait 36 factorielle ici on a pas trente-six vectorielle on ajuste les neuf premiers termes les neuf premiers termes les plus grands de neuf factorielle donc en fait ici on a divisé sa part 36 - 9 factorielle 36 - 9 factorielle et puis ensuite pour ne pas compter plusieurs fois des cas des mains qui sont qu'on peut composer des mêmes cartes dans un ordre différent on a divisé on a divisé sa part le nombre de permutations de neuf cartes c'était neuf factorielle voilà ça c'est la formule alors on va vérifier cette partie là hein pourquoi est-ce que 36 factorielle / / 36 - 9 factorielle ça nous donne bien 7,7 ce nombre qui hélas se numérateur alors je vais le faire hein alors quand on écrit 36 36 factorielle et bien c'est 36 x 35 x 34 x 33 x 30 2 x 31 x 30 x 29 x 28 et puis on s'arrête pas ici malheureusement puisque 36 factorielle ça continue x 27 x 26 et ainsi de suite jusqu'à x 2 x 1 voie là et puis quand on écrit 36 - 9 factorielle alors 36 - 9 ces 27 donc 36 - 9 factorielle je vais l'écrire en bleu 36 - 9 factorielle basse et 27 factorielle puisque 36 mois neuf ça fait 27 donc 27 factorielle c'est 27 x 26 x 25 et ainsi de suite jusqu'à x 2 x 1 alors du coup tu vois là quand on fait le quotient de ces deux nombres là quand on fait 36 factorielle sur 27 factorielle bien ça fait ce nombre là le numérateur / 27 x 26 x 25 et ainsi de suite jusqu'à x 2 x 1 et en fait on retrouve ce dénominateur ici on le retrouve au numérateur ici tout ça ça en fait c'est 27-27 factorielle donc finalement tout ça ça se simplifient et on retrouve effectivement cette partie là 36 factorielle sur 36 - 9 factorielle on trouve exactement ce numérateur qui nous intéressait ici voilà et ensuite on a divisé sa part le nombre de permutation des neuf cartes qu'on avait choisi alors voilà il ya une formule qui est générale quand on est dans cette situation là qu'on doit choisir cas carte parmi n par exemple donc ça ça va être le nombre de combinaisons de cartes parmi n 2 cas éléments parmi haine sans tenir compte de l'ordre et bien à ce moment là on va pouvoir dire que ce nombre de combinaisons cn factorielle divise et par haine - cas factorielle et divise alors ça ça donne le nombre d'arrangements possible de 4k carte parmi elles et puis il faut diviser sa part le nombre de de permutations de cas car c'est à dire par cas factorielle voilà et ça ça donne la formule générale du nombre de combinaisons de cas éléments parmi n