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Lien entre la formule du binôme et les combinaisons

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va revenir un petit peu sur la formule du binôme la formule de newton on va essayer de comprendre pourquoi on vous ma des coefficients binôme you qui interviennent dans cette formule dans le développement d'une expression a + b puissance elle alors ici on va prendre l'expression je vais prendre un jeu de couleurs on va développer l'expression a + b au cube donc a + b occupe ses a + b x a + b multiplier encore par a plus b voilà donc là ce que je vais faire c'est tout simplement développer tous à en développer ce produit alors je vais déjà m'occuper de développer le c2c deux premiers facteurs donc je vais avoir j'aime être décroché je vais avoir ici à facteur de a + b je garde les couleurs tu vas voir pourquoi ça permettra de comprendre un peu mieux ce qui se passe donc à multiplier par a + b + b x a + b des fois a + b voilà le tout multiplié encore une fois par a plus b a + b qui est en bleu voilà alors maintenant je vais ça c'est égal à égal à la ligne du dessous là je vais continuer donc maintenant je vais leur continuel développer l'intérieur l'intérieur de ce produit donc là je vais avoir fait les crochets vont se transformer en parenthèse je vais avoir ici à foix a à x a plus à x b à foix b plus maintenant je vais développer ce deuxième terme là donc plus b fois à des fois a + b x b + b fois le bébé qu'est viol et voilà et tout ça c'est encore une fois évidemment multiplier par a plus b cela a plus b bleus qui est là et maintenant bon je vais distribuer maintenant cette parenthèse là au terme de la première parenthèse donc je vais avoir ici alors c'est ce terme si donc c'est le à geaune x le a violé x le à bleus qui est ici voilà plus le à geaune fois le b violet x le à bleu voilà donc ab a plus ce terme si maintenant b donc le b jaune plus b jaune fois à violer fois à bleus ça c'est ce terme si x le hac est la plus ce terme si x a maintenant donc le b jaune x le b violet x le à bleus voilà donc là j'ai tout cette parenthèse x à il faut que je fasse maintenant que je m'occupe maintenant de cette parenthèse x b donc ça je vais faire comme ça donc je vais avoir ici plus à geaune fois à violer fois baie bleue à geaune fois à violer fois baie bleue voilà plus ce terme si maintenant que je multiplie par b donc plus à geaune x b violet fois baie bleue à des bébés plus ce terme si x b donc ça c'est plus b fois des jaunes fois à violer fois des bleus ça c'est ce terme là et puis enfin le dernier b jaune donc plus b jaune x b violet fois baie bleue voilà donc là j'ai complètement développer l'expression a + b aux cubains je les fais avec en gardant un jeu de couleurs pour qu'on comprenne un petit peu mieux ce qui se passe alors là j'ai donc une somme de 1 2 3 4 5 6 7 8 terme est là pour l'instant j'ai rien simplifier il ya des termes que je vais pouvoir simplifier les pour l'instant je n'ai pas fait parce que on peut se rendre compte qu'en fait chaque terme de cette somme est bien c'est une un produit de 3 nombre et on a à chaque fois un nombre jaune un nombreux violet et un nombre bleus c'est le cas dans chacun de ces termes ici donc en fait chaque terme ici correspond à avoir choisi un terme de cette première parenthèse un terme de cette deuxième parenthèse est un terme de cette troisième parenthèses et c'est là où on commence à voir intervenir les combinaisons parce que effectivement quand on a développé ce produit en fait ça revient à avoir choisi à chaque fois soit a soit b dans la première parenthèse en jaune soit a soit b ensuite dans la 2ème parenthèse soit a soit b ensuite dans la troisième parenthèse qui en bleu là par exemple dans ce terme là on a choisi à dans la première parenthèse ici aussi on a choisi adam la première parenthèse là par contre on a choisi pays si on a choisi béotie là on a choisi à la on a choisi à là on m'a choisi b et là on m'a choisi b voilà donc c'est exactement ce qui se passe pour retrouver tous ces termes ces huits terme qui sont là ont choisi un terme parmi 2 dans la première parenthèse puis un terme parmi 2 dans la deuxième par an pèse puis un terme parmi 2 dans la troisième parenthèses et finalement ce que représente toute cette somme qui est ici sommes là que j'encadre en rouge et bien c'est toutes les manières possibles de ces de prélever un élément a ou b dans la première parenthèse un élément a ou b dans la 2ème parenthèse est un élément a ou b dans la troisième parenthèse ici on a toutes les manières possibles de faire cette sélection de un élément dans chacune des trois parenthèse mais on obtient donc ces huits terme qu'ils sont alors maintenant on va simplifier un petit peu tout ça pour comprendre un peu un petit peu mieux ce qui se passe donc le premier terme je vais le souligner envers ce terme là ça a c'est le terme à au cube à occupe je peux l'écrire ici un essai le seul terme rend à eau qu il y en a pas d'autres ici dans cette somme de termes on va regarder maintenant les termes en ces termes là là c'est à foix beffroi a donc ça ça en fait ca au carré x b 1 on peut l'écrire comme ça alors est-ce qu'il ya d'autres termes qui sont égaux à 1 au carré x b oui il ya celui là aussi un bep fois à foix a donc ça c'est un deuxième terme ans à oka ray x b ensuite il ya celui là aussi et c'est tout donc il y a trois termes en a au carré x b ça ça revient à ce qu'on sait déjà on en a déjà vu plusieurs fois avec la formule du binôme que quand on développe a + b au cube est bien le coefficient 2 à o car est faux a b c 3 et que c'est exactement ce qu'on voit ici il ya trois fois le terme à au carré x p alors pourquoi est-ce que ça s'étend en lien avec le nombre de combinaisons d'un certain nombre d'éléments parmi d'autres en fait ce qu'on fait ici c'est que pour avoir un terme comme ça à au carré fois des on doit avoir choisi à dans deux parents pèse donc deux fois le nombre ea parmi ces trois par an pèse donc ça c'est ce qu'on va pouvoir écrire comme ça hein on doit choisir deux éléments parmi 3 c'est le nombre de combinaisons de deux éléments parmi trois fois à au carré x b évidemment le troisième terme on a choisi deux fois le nombre à danser 3 parenthèse et le troisième nom de conches loisirs c'est forcément b1 donc on obtient exactement ce terme là effectivement le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 3 et bien ça c'est 3 donc ça là ça ça vaut 3 tu peut le calculer avec les formules que tu connais si tu veux alors ce qu'on peut voir aussi ce que si on calcule quelque chose d'analogue si on regarde combien on a des éléments qui sont bo carré fois à ou à au carré x b eh bien on peut les regarder ici hein tu verras qu'il y en a trois si tu regardes ça donc on a aussi ce 3 x b au carré fois à troyes à foix bo carré si tu préfères et là c'est pareil en fait ce qu'on fait c'est choisir deux fois le nombre b dans ces trois parenthèse donc c'est le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 3 encore une fois et x b au carré fois à est en fait parce qu'il ya quelque chose de symétrique là dedans c'est que ça revient exactement en fait là on considère on regarde les manières de choisir b mais si on doit choisir deux fois b ça veut dire qu'on doit choisir en fait une seule fois à un donc ça on peut l'écrire aussi comme ça c'est le nombre de combinaisons de un élément parmi 3 écrit comme ça x b au carré fois à et dans les deux cas tu peux contrôler que les nombres de combinaison de deux éléments parmi trois ça on l'a déjà dit ça fait 3 et le nombre de combinaisons de un élément parmi 3 eh bien c'est 3 aussi assez facile à voir puisque je peux choisir à soi dans cette parenthèse soit dans cette parenthèse soit dans cette parenthèse donc il ya trois manières de choisir un élément parmi 3 voilà alors j'espère que là tu comprend un petit peu ce bien avec les combinaisons de ce lien entre la formule du binôme et les combinaisons alors je vais réécrire le développement qu'on aurait obtenu à la fois à partir de la formule du binôme de a + b au cube ça serait du coup le nombre de combinaisons 2-0 éléments parmi 3 2 à au cube x b puissance 0 plus le nombre de combinaisons de un élément parmi 3 2 à o car est x b puissance 1b donc plus le nombre de combinaisons de deux éléments parmi 3 2 à puissance 1 x b au carré plus le nombre de combinaisons de trois éléments parmi 3 2 alors je vais placer un petit peu par la voix la 2a puissance 0 x b au cube ça c'est exactement ce que tu obtiens en utilisant la formule du binôme alors maintenant on va regarder ça un peu de plus près ce terme qui est ici là donc cet élément là c'est pourquoi est ce que c'est le nombre de combinaisons de trois éléments parmi trois éléments en fait ce qu'on fait ici c'est choisir trois fois b donc on choisit b ici béhi cib est ici et ça évidemment il n'y a qu'une seule façon de le faire et ça revient exactement à choisir trois fois le nombre b2 parmi trois éléments donc ça évidemment situe d'ailleurs tu peut l'évaluer avec la formule du binôme ça ça fait 1 et ça correspond à ce terme qui est là y'a qu'une seule façon de choisir trois fois le nombre b dans ces trois parenthèse et de la même manière si tu regarde ce qui se passe ici là on a ici en fait ça revient à choisir 0 fois un élément parmi 3 donc ça leur revient de pas du tout choisir l'élément b part dans ces trois parenthèse qui veut dire que tu peux voir ça comme ça aussi ça revient à choisir trois fois le nombre à danser parenthèse donc c'est exactement la même chose qu'ici ça ça fait un sas a fait 1 et en fait ça correspond à ce terme qui est ici ce terme-là à au cube et puis évidemment si tu regardes les termes intermédiaire qu'on a vu ici hein ça ça représente le nombre de façons possibles différentes de choisir une fois le nombre b pendant ces trois éléments parmi ces trois éléments donc ça c'est on l'a vu tout à l'heure c'est 3 et ce terme là terme si c'est le nombre de manières différentes de choisir deux fois le nombre b parmi ces trois parenthèse donc c'est exactement on l'a vu tout à l'heure c'est 3 voilà alors j'espère que cette vidéo temps à aider à comprendre le lien entre la formule du binôme et le nombre de combinaisons d'un certain nombre d'éléments dans une liste plus grande