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Variance de la différence entre deux variables aléatoires

Transcription de la vidéo

alors on a vu des vidéos dans lesquelles on a travaillé avec des variables aléatoires et on en a calculé les paramètres tels que l'espérance mathématique la variance etc voilà alors il peut arriver qu'on soit obligé de considérer la somme ou bien même la différence de deux variables aléatoires alors là ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est d'essayer de donner quelques outils pour pouvoir travailler avec une somme ou une différence de deux variables aléatoires donc pour commencer je vais prendre deux variables aléatoires donc et en fait je vais supposer que ce sont des variables indépendantes donc je prends une variable x une variable y qui sont des variables aléatoires et donc la supposition qu'on va faire dans cette vidéo c'est que ce sont des variables aléatoires indépendante indépendante ça veut dire que la réalisation de l'une n'a aucun impact sur la réalisation de l'autre voilà alors on sait calculer l'espérance mathématique de la variable d'une variable donc de la variable x ou de la variable y donc là je fais rappeler ce que c'est que cette espérance mathématiques de la variable x bien on savait on sait que c'est la moyenne de la distribution des de cette variable donc on peut noter comme ça alors on avait vu aussi ce qu'on a fait appeler la variance la variance de la variable ans je le note comme ça var 2 x la variance de la variable x alors dans le cas où x est une variable discrète on avait vu que cette variante c'est revenait à calculer en fait la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne donc ici ce qu'on va faire pour inclure aussi le cas d'une variable continue on l'avait déjà vu d'ailleurs c'est en fait la variance 2x et l'espérance mathématique de d'une autre variable qui va être lésés car l'écart par rapport à la moyenne j'écris comme ça élevée au carré donc voilà ça c'est la variance de x c'est donc l'espérance mathématique de cet écart de 6 par rapport à la moyenne élevée au carré et puis bon ça on peut aussi le noter avec l'annotation habituels qu'on a déjà introduites ça s'écrit comme ça sigma 2 x au carré voilà et sigma 2 x mais on sait que c'est en fait l'écart type alors bon ça c'est pour la variable qui peut faire exactement la même chose avec la variable y donc je vais l'écrire l'espérance mathématique de la variable y est bien c'est tout simplement la moyenne de cette variable y la moyenne des valeurs qu'elle peut obtenir et puis la variance de y eh bien ça va être l'espérance mathématique de l'écart de la variable y par rapport à sa moyenne élevée au carré donc voilà ça c'est vraiment des révisions on l'a vu dans d'autres vidéos et là ce qu'on va faire c'est essayer de voir ce qui se passe avec une somme de variables et avec une différence de variable donc en fait on va essayer de calculer l'espérance d'une somme de variables la somme x plus y est de la différence x ou y et puis on va essayer de calcul est aussi la variance de cette somme et cette différence alors je vais commencer par la somme de la variable x plus y donc je vais les finir alors je vais prendre je vais prendre le vieux le rose pour la variable y donc je vais définir une variable qui va être la somme de x plus y voilà ça c'est une autre variable aléatoire je vais l'appeler enfin je vais oui je veux lui donner un nom je vais l'appeler cède donc ça c'est la variable z qui est égal à x plus y alors qu'est ce que va être l'espérance mathématique de la variable z je vais l'écrire l'espérance mathématique deux aides et bien c'est donc l'espérance mathématique 2x plus y puisque z cx plus y que j'ai rien écrit de spécial mais bon je fais pas de toute façon dans cette vidéo je vais pas faire des démonstrations rigoureuse ne vais pas donner de preuves rigoureuse mathématiques des relations que je vais qu'on va trouver on va donner ici de toute façon elles sont pas très compliqué à faire donc tu peux de temps très tu peux essayer de ton côté là je vais juste les données en essayant de 2,2 d'en donner une explication un peu intuitive donc ici l'espérance mathématique 2x plus y est bien ça va être tout simplement l'espérance de x plus l'espérance de y voilà alors ça on peut le voir différemment en disant que la moyenne de la variable z ça va être la moyenne 2 x plus la moyenne de y est ça que je peux je peux me faire une idée ça hein c'est assez intuitif 6 6 x 6 la moyenne de xc 5 par exemple la moyenne de y c7 d'un on peut assez facilement comprendre que la moyenne de z ça sera 5 + 7 c'est à dire 12 alors je peux faire la même chose avec la variable différence donc je vais prendre une variable vais l'appeler disons à je prends une variable à qui va être égal à la somme là la variable x - cette fois-ci la variable y x - y ça c'est une autre variable aléatoire et si je veux calculer son espérance mathématiques bah je vais écrire avant l'espérance mathématique de à c'est donc l'espérance mathématique 2x moins y de la variable x ou y part donc voilà et donc ça on peut le voir comme la variable l'espérance mathématique 2x plus - y donc ça va être l'espérance mathématique 2x plus l'espérance mathématique de moins y voilà ça c'est parce que l'espérance mathématique 2x plus - y d'après ce qu'on vient de voir ici ça va être l'espérance mathématique 2x plus l'espérance mathématique de moins y est ça évidemment l'espérance mathématique de moins y ont peut s'en faire un peu se convainc que de ça en fait on peut factoriser le moins et donc finalement on peut écrire que l'espérance mathématique 2h de l'écrire ici c'est l'espérance de x - l'espérance de y voit là puisque effectivement l'art c'est comme si quand tu penses au cas discret tu peux factoriser le signe - et donc tu vas avoir moins la moyenne de y donc ça et c'est exactement on peut l'écrire comme ça la moyenne deux à ça va être la moyenne 2 x - la moyenne de y voilà alors on va calculer les variances mai afin avant je voudrais quand même insisté sur le fait qu' ici on a su poser parce que je dis là c'est de relation là elles sont valables uniquement dans le cas où les variables sont indépendantes donc c'est pour ça que dans ce cas là on comprend bien soutient aucune relation entre la variable xla variables y on comprend bien que la moyenne de z sera égal à la moyenne 2 x plus la moyenne de y un mais c'est vraiment le il faut faire attention à pas penser que c'est vrai dans n'importe quel cas c'est vrai si les variables sont indépendantes alors maintenant on va calculer la les variances de ces deux variables alors je vais commencer par cette variante de cette variable donc qu'est ce que c'est que la variance deux aides de la variable cède et bien bon je vais pas donner une démonstration rigoureuse de ça pas du tout je vais juste énoncé cette propriété là alors si les deux variables sont indépendantes c'est important de bien de se rappeler de cette supposition est si bon on a cette première variable xk une certaine variance qui sera une certaine certain nombre et cette variable y une autre variance donc un autre nombre bien défini et bien en fait la variance de la somme donc ici deux aides ça sera tout simplement lavalas somme des 2 variance donc on va pouvoir écrire que la variance deux aides c'est la variance 2x plus la variance de y je te le démontre pas mais tu peux essayer de le faire et ça on peut aussi l'écrire avec nos terminologie plus statistique en termes avec ses dotations l'a donc la variance deux aides ben c'est aussi la variance tu peux l'écrire comme ça c'est la variance 2x plus y puisque zdx plus y est bien ça c'est la variance 2x plus la variance de y au chevet à prendre les couleurs mettre le code couleur parce que c'est plus visuelle quand même donc ça c'est x ça c'est la variance de x ici j'ai la variable y est donc la variance 2x plus y c'est la variance 2x plus la variance nous y voilà projetant le seul je te donne pas de démonstration de ça mais en tout cas c'est une formule dont on se rappelle assez facilement c'est finalement assez simple et tu verras rencontrer sa très régulièrement dans des dans des livres des livres de cours alors par contre ce qu'on va faire c'est se servir de ça pour calculer maintenant la variance delà de la différence x ou y alors la variance 2x mots y alors la variance de hits de la variable a donc 2 x - y donc je vais procéder un peu comme tout à l'heure c'est la variance de x je vais faire comme ça pour utiliser le code couleur x - y et ça je peux considérer que c'est la variance 2x plus la variance 2 - y donc on va écrire ça alors c'est la variance 2x plus - y donc en utilisant ce qu'on a fait tout à l'heure la variable la variance 2x plus - y c'est la variance 2x plus la variance 2 - y donc là j'ai la variance 2x plus la variance 2 - y - y voilà alors maintenant bon il faut qu'on arrive à se débrouiller avec cette variance 2 - y on l'avait vu tout à l'heure assez facilement dans le cas de l'espérance mathématique donc si on se reporte à cette définition là en remplaçant y par - y on va écrire que lors la variance je veux le faire ici la variance 2 - y c'est l'espérance mathématique de cette variable a du coup c'est moins y moins une moyenne de - y élevée au carré voilà alors maintenant ce qu'on peut faire ici donc je remonte un petit peu ici on peut factoriser à l'intérieur le moins 1 1 on peut mettre moins un facteur dans cette partie là donc c'est ce que je vais faire ici alors je verrai écrire ça c'est l'espérance mathématique de et puis je vais travailler à l'intérieur de cette parenthèse donc je factories - 1 ça me donne moins un facteur que je dois élever au carré donc moins un au carré facteur de alors il me reste y plus mû de moins y la moyenne de - y élevée au carré voilà bon évidemment ce terme là va pas nous gêner puisque - o car elle ça fait ça fait 1 donc on va en fait avoir d ici ce qui est crise c'est l'espérance mathématique de cette parenthèse la de ce terme si voilà qui est une variable aléatoire aussi alors maintenant ce qu'on peu ce qu'on peut utiliser c'est le fait que tout à l'heure on avait vu que l'espérance mathématique de moins y je peux le réécrire ici l'espérance mathématique de moins y c - l'espérance mathématique de y c'est ce qu'on avait dit tout à l'heure ça c'est ça peut s'écrire aussi comme ça la moyenne de - y mu 2 - y c'est moins la moyenne de y donc ici on va se servir de ça et on va réécrire sa de cette manière là alors c'est l'espérance mathématique de alors moins un au carré je l'écris pas ça fait 1 et je vais par contre écrire ça y est là je vais remplacer mu plus mû de y par - mu plus mû de moins y pardon par - mu de y donc j'ai - mu de y élevée au carré et là bas effectivement ce qu'on reconnaisse à ça c'est la variance de y c'est exactement ce qu'on avait donné comme définition de la variance de y c'est dommage on peut pas avoir les deux à la fois là je vais essayer de voilà là ici j'ai la variance de l'île grecque s'est effectivement sept exactement la même chose donc finalement ça c'est la variance de y donc voilà on vient de démontrer que la variance de moins y c'est la variance degré que ça par contre c'est une vraie démonstration rigoureuse en utilisant ce qu'on a fait avant donc maintenant bas on va revenir 7 ce calcul de la variance de la variable de la variable à variance de à je vais l'écrire plutôt en termes statistiques en utilisant ces notations là alors c'est la même chose ici on a la variance de à c'est la variance 2x moins y est c'est aussi ce qu'on vient de voir donc on a dit que c'était la variance 2x plus la variance de moins y met la variance de moins y c'est la même chose que la variance de y donc finalement on trouve que la variance 2x moins y c'est la variance de y de plus la variance de y voilà alors ça c'est le résultat intéressant dont il faut se souvenir ici un canton prend bon il ya deux résultats en fait dont on va servir vraiment dans les vidéos suivantes le premier c'est que quand on a une différence de variables bien la moyenne des dix fait de la différence de deux variables c'est la différence des moyennes ça c'est le premier résultat et puis le deuxième qui est important qui est un peu plus étonnant je trouve c'est que la variance d'une différence donc si je définis deux variables aléatoires indépendante donc si j'ai deux des variables aléatoires indépendante ça je rappelle ses relations la sont valables uniquement quand les deux variables sont indépendantes donc je disais quand on a deux variables aléatoires indépendante et qu'on calcule et qu'on définit une nouvelle variable a comme étant la différence des deux premières et bien la variance de cette différence c'est la somme cette fois ci des deux variantes voilà c'est assez étonnant d'ailleurs finalement on se retrouve avec lui la variance d'une différence qui est égale à la variance d'une somme c'est ce qu'on a ici alors tasser un peu moins intuitif leurs comptes ce qui est très intuitif c'est cette relation là est assez intuitive et puisqu'on a démontré ici ça on l'a démontré vraiment cette le fait que la variance de moins y est la variance de y soit la même chose en fait là on peut on peut comprendre ça en se disant que de toute façon si on parle de x2 si on parle de la variable y ça va se passer par exemple dans les côtés positifs mais si on prend au moins y on va passer aux opposé en fait les paramètres ne change pas ils seront les mêmes qu'on regarde ça côté opposé ou pas voilà alors bon si tout ça n'est pas très clair qu il ya deux possibilités tu peux reprendre la vidéo tu peux même essayé de démontrer ses relations on est celle qu'on a pas démontré voilà ça c'est une façon de faire sinon tu peux aussi très bien admettre ces résultats de mettre ses propriétés et les utiliser comme des outils qui vont tu va voir comment on va les utiliser par la suite