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Cours : 6e année secondaire - 4 h > Chapitre 9 

Leçon 4: Autres applications - Hors programme
Mathématiques
6e année secondaire - 4 h
Utilisation des primitives et des techniques d'intégration
Autres applications - Hors programme
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Mouvement d'une particule et calcul intégral

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Les intégrales définies sont couramment utilisées pour résoudre des problèmes de mouvement rectiligne, par exemple, en déterminant la position d'un objet en mouvement connaissant sa vitesse. Apprenez comment appliquer le calcul intégral dans la résolution de problèmes de mouvement rectiligne et découvrez la différence cruciale entre la vélocité et la vitesse.
Les problèmes impliquant des mouvements rectilignes sont très courants dans le calcul différentiel et intégral. Dans le calcul différentiel, nous avons vu que la fonction vitesse est la dérivée de la fonction position. Dans le calcul intégral, connaissant la fonction vitesse, nous nous intéressons à sa position ou à la variation de sa position.

Vélocité, vitesse et intégrales définies

On considère une particule qui se déplace selon une trajectoire rectiligne à la vitesse v(t)=5−t mètres par seconde, où t est le temps exprimé en secondes.
La fonction v est représentée. L'axe horizontal est représenté par t. t va de 0 à 10. Le graphique est une droite. La droite commence au point (0, 5), coupe l'axe t au point (5, 0), et se termine au quatrième quadrant.
La vélocité, ou vitesse instantanée, est une grandeur vectorielle qui désigne le taux de variation de la position d'un objet durant son mouvement. Pour définir la vélocité d'un objet, on doit donc en donner l'amplitude et le sens de variation. Une vélocité positive signifie que la particule se déplace dans le sens positif (avance), et lorsque la vélocité est négative, cela signifie que la particule se déplace dans le sens négatif (recule).
On nous demande le déplacement de la particule (c'est-à-dire le changement de position) entre t=0 secondes et t=10 secondes. La vélocité étant le taux de variation de la position de la particule, son intégrale nous donne le changement dans la position de la particule.
Plus précisément, on cherche ∫010v(t)dt.
Le graphique précédent de la fonction v est présenté. L'aire entre le graphique et l'axe t est ombragée de t = 0 à t = 10. Il s'agit de deux domaines séparés à gauche et à droite de l'instant t = 5.
On constate que le déplacement est nul : ∫010v(t)dt=0 mètres. (Les aires sont égales et de signe opposé).
Un déplacement égal à 0 signifie que la particule est à la même position à t=0 et à t=10 secondes. Cela est logique car la particule avance d'abord puis fait marche arrière en revenant à sa position de départ.
Un point représentant une particule est tracé à l'extrémité gauche d'une droite horizontale, où t = 0 et v = 5. La particule se déplace vers un point maximum vers la droite, puis vers la gauche jusqu'à son point de départ. En se déplaçant à droite, t passe de 0 à 5 et v diminue de 5 à 0. En se déplaçant à gauche, t passe de 5 à 10 et v de 0 à moins 5.
Voici une simulation du mouvement de la particule entre t=0 secondes et t=10 secondes (créée avec Geogebra).
Néanmoins, la particule s'est déplacée. Supposons que nous voulions connaître la distance totale parcourue par la particule, même si elle s'est retrouvée à sa position intiale. Peut-on alors avoir recours aux intégrales ?
Oui. Pour cela, au lieu de considérer la vélocité v de la particule, on étudie sa vitesse |v| (c'est-à-dire la valeur absolue de v).
Le graphique précédent de la fonction v est donné. Une seconde fonction, la valeur absolue de v est représentée. Le graphique se compose de deux segments de droite. Le premier est incliné vers le bas, de (0, 5) à (5, 0), et le second est incliné vers le haut, de (5, 0) à (10, 5).
La vitesse est une grandeur scalaire qui désigne la distance qu'un objet parcourt durant un certain temps alors que la vélocité est une grandeur vectorielle qui désigne un taux de variation de la position d'un objet durant son mouvement. La vélocité est définie par son amplitude et sa direction et son sens. Lorsque le mouvement est rectiligne, la vélocité peut être négative, mais la vitesse est toujours positive (ou nulle). La vitesse est donc la valeur absolue de la vélocité.
Connaissant la vitesse de la particule à tout moment, on peut déterminer la distance totale parcourue en calculant ∫010|v(t)|dt.
On reprend le graphique précédent, de la fonction valeur absolue de v. L'aire entre le graphique et l'axe t est ombragée de t = 0 à t = 10. Il s'agit de deux domaines séparés à gauche et à droite de l'instant t = 5.
La distance totale parcourue est alors égale à 25 mètres.

Mémo : vélocité vs. vitesse

La vélocité est le taux de variation de la position, donc son intégrale nous donne le déplacement de l'objet en mouvement.
La vitesse est le taux de variation de la distance totale, donc son intégrale nous donne la distance totale parcourue, quelle que soit la position.
Exercice 1
Alix doit résoudre le problème suivant :
Une particule se déplace sur une droite à la vitesse v(t)=−t2+8, en mètres par seconde, où t est le temps, exprimé en secondes. À t=2, la particule se trouve à 5 mètres de son point de départ. Quelle est la distance totale parcourue par cette particule entre t=2 et t=6 ?
Parmi les propositions suivantes, laquelle permet à Alix de répondre à la question ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Madeleine doit résoudre le problème suivant :
Une particule se déplace de façon rectiligne à la vitesse de v(t) mètres par seconde représentée ci-dessous (où le temps t est exprimé en secondes). À t=1, la particule se trouve à 2 mètres dans le sens positif de sa position initiale. Quel est le déplacement de la particule entre t=1 et t=6 ?
Quelle expression Madeleine doit-elle utiliser pour résoudre ce problème ?
Choisissez une seule réponse :

Déterminer la position actuelle en utilisant les intégrales définies et les conditions initiales

Dans certains problèmes sur le mouvement, il faut donner la position d'une particule en un instant donné. N'oubliez pas qu'une intégrale donne une variation de position, donc, pour déterminer une position en un instant donné, nous devons connaître la position initiale.
Exercice 3
Diane doit résoudre le problème suivant :
Une particule se déplace sur une droite à la vitesse v(t)=3t−1 en mètres par seconde, où t est la durée, exprimée en secondes. À l'instant t=2, la particule se trouve à 8 mètres dans le sens positif de son point de départ. Quelle sera la position de la particule à l'instant t=7 secondes ?
Parmi les propositions suivantes, laquelle permet de répondre à la question ?
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire cet exercice.

Résumé : Les trois types de problèmes sur le mouvement

Les problèmes relatifs au mouvement rectiligne font intervenir des intégrales définies lorsque la vitesse instantanée de l'objet en mouvement est donnée et que nous voulons déterminer sa position en un instant donné. Il existe trois types de problèmes :
TypeQuestionExpression appropriée
Déplacement"Quel est le déplacement de la particule entre t=a et t=b" ou "Quel est le changement de position de la particule entre t=a et t=b"∫abv(t)dt
Distance totale"Quelle est la distance totale parcourue par la particule entre t=a et t=b"∫ab∣v(t)∣dt
Position actuelle"Quelle est la position de la particule en t=b"C+∫abv(t)dt où C est la position initiale

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