La méthode des cylindres : exercices

On utilise la méthode des disques pour calculer le volume d'un solide de révolution lorsque l'axe de rotation est une des frontières de la surface génératrice.

On a représenté un cylindre type, une section transversale du solide perpendiculaire à l'axe de rotation.

Le rayon du cylindre $i$‍ est égal à $r=\sqrt{x_i}$‍, l'aire de la base du cylindre $i$‍ est donc : $A(x_i)=\pi r^2=\pi (\sqrt{x_i}{)}^2=\pi x_i$‍.

Le volume du cylindre $i$‍ d'aire de base $A(x_i)$‍ et de hauteur $dx$‍ est égal à $v(x_i)=A(x_i)dx=\pi x_{i}dx$‍.

On partage l'intervalle $[1;4]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆x_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ cylindres. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des cylindres. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(x)={\displaystyle {\int }_1^4\pi xdx.}$‍

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{15\pi }{2}}$‍ unités de volume.

Contrairement à l'exercice précédent, nous ne connaissons pas ici les bornes d'intégration. Pour les déterminer, il faut trouver les points d'intersection entre la courbe d'équation $y=x^2-2x$‍ et l'axe des abscisses.

On a représenté le domaine et un cylindre représentatif.

Le rayon du cylindre $i$‍ est égal à $r=-(x_i^2-2x_i)$‍. L'aire de la base est $A(x)=\pi (-(x_i^2-2x_i){)}^2$‍.

Le volume du cylindre $i$‍ d'aire de base $A(x_i)$‍ et de hauteur $dx$‍ est égal à $v(x_i)=A(x_i)dx=\pi (-(x_i^2-2x_i){)}^{2}dx$‍.

On partage l'intervalle $[0;2]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆x_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ cylindres. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des cylindres. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(x)={\displaystyle {\int }_0^2(-(x^2-2x){)}^{2}dx}$‍

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{16\pi }{15}}$‍ unités de volume.

Dans cet exercice, l'axe des abscisses n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation $y=4$‍.

On a représenté le domaine et une coupe transversale du solide. La courbe d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3$‍ coupe la droite d'équation $y=4$‍ en $x=2$‍.

Le rayon du cylindre $i$‍ est $r_i=4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_i^3$‍. L'aire de la base est $A(x_i)=\pi {(4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}_i^3)}^2$‍, et le volume du cylindre $i$‍ de hauteur $dx$‍ est égal à $v(x)=\pi {(4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3)}^{2}dx$‍.

Le volume du solide est : $V(x)={\displaystyle {\int }_0^2\pi {(4-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3)}^{2}dx}$‍.

On calcule l'intégrale.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{144\pi }{7}}$‍ unités de volume.

Dans cet exercice, l'axe de rotation n'est pas $(Ox)$‍ mais l'axe des ordonnées.

On a représenté le domaine et une coupe transversale du solide.

Ici, les cylindres sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc $dy$‍. On doit alors exprimer le rayon en fonction de $y$‍.

Le rayon du cylindre $i$‍ est égal à $x_i$‍, comme $x=\sqrt{16-y^2}$‍, on obtient $r_i=\sqrt{16-y_i^2}$‍.

L'aire de la base du cylindre $i$‍ est $A(y_i)=\pi (\sqrt{16-y_i^2}{)}^2$‍et son volume $v(y_i)=\pi (\sqrt{16-y_i^2}{)}^{2}dy$‍.

On partage l'intervalle $[0;4]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆y_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ cylindres. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des cylindres. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(y)={\displaystyle {\int }_0^4\pi (\sqrt{16-y^2}{)}^{2}dy}$‍

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{128\pi }{3}}$‍ unités de volume.

On représente tout d'abord le domaine et une coupe transversale du solide.

Ici, les cylindres sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc $dy$‍. On doit alors exprimer le rayon en fonction de $y$‍.

Le rayon du cylindre $i$‍ est égal à $x_i$‍. Il faut donc exprimer $x$‍ en fonction de $y$‍. On obtient $r_i=y_i^{\frac{3}{2}}$‍. En effet :

L'aire de la base du cylindre $i$‍ est $A(y_i)=\pi {\left(y_i^{\frac{3}{2}}\right)}^2=\pi y_i^3$‍ et le volume du cylindre $i$‍ est : $v(y_i)=\pi y_i^{3}dy$‍.

On partage l'intervalle $[0;1]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆y_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ cylindres. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des cylindres. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(y)={\displaystyle {\int }_0^1\pi y^{3}dy}$‍

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$‍ unités de volume.

Dans cet exercice, l'axe des ordonnées n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation $x=9$‍.

On a représenté le domaine et une coupe transversale du solide.

Ici, les cylindres sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc $dy$‍. On doit alors exprimer le rayon en fonction de $y$‍.

$y=\sqrt{x}$‍, donc $x=y^2$‍.

Par lecture graphique, $r=9-x$‍. Comme $x=y^2$‍, $r=9-y^2$‍.

L'aire de la base du cylindre $i$‍ est $A(y_i)=\pi {(9-y_i^2)}^2$‍ et le volume du cylindre $i$‍ est : $v(y_i)=\pi {(9-y_i^2)}^{2}dy$‍.

On partage l'intervalle $[0;3]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆y_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ cylindres. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des cylindres. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(y)={\displaystyle {\int }_0^3\pi {(9-y^2)}^{2}dy}$‍

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{648\pi }{5}}$‍ unités de volume.