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Méthode des cylindres pour une rotation autour d'une parallèle à l'axe des abscisses

Transcription de la vidéo

bon alors ici nous avons le graphe de la fonction y égale racines de x et je vais créer un solide de révolution mais je ne vais pas faire tourner les ressources une courbe jusqu'à l'accès abscisse ni jusqu'à là que désordonné je vais choisir une autre ligne arbitraire g choisir dû choisir par exemple la ligne y lax y égal 1 voilà et ça va être celui là mon axe de révolution alors je vais faire tourner l'air sous une certaine courbe que je vais définir autour d'eux y égale un bon acteur évolution va être y égal 1 alors où on va commencer on va se terminer cette course va dire qu'elle va commencer là où les deux fonctions se rencontrent ici au point d'intersection et qu'elle va se terminer disons ax égale 4 voilà donc c'est terminé ici à x égale 4 et là on voit les airs sous la courbe jusqu'à x égale 4 que je vais faire tourner sept fois autour de lax y/y gall 1 donc quel genre de solides de révolution ça nous donnerait ça nous donnerait ça nous donnerait j'essaye de le dessiner comme ça voilà la base du solide et la limite inférieure du solide elle fait d'être ici comme ça et je fais ça fait un petit peu comme une tête d'obus ou un bal - 1/2 ballon de rugby essayez de donner du relief comme ceci voilà j'espère que tu as une que tu as que ça te donne une petite idée de ce à quoi ressemble ce solide et maintenant calculons le volume de ce solide de révolution bon c'est pas forcément très malin de faire tourner sa de faire tourner ça autour d'un autour d'un axe qui soit pas l'axé des abscisses on va pas faire ça très très souvent parce qu'on se dit que étant donné un accès solide de révolution on met un repère sur le solide de révolution et pour que ce soit plus facile intuitivement on mettrait l'accent des abscisses comme axe de symétrie du solide de révolution donc ça c'est quelque chose qu'on serait pas forcément amené à faire très souvent un dont on peut discuter l'utilité mais admettons qu'on soit obligé de faire comme ça on va essayer de le faire donc comment on va calculer ce volume on va y penser si le petit cylindre par ce petit cylindre à décomposer opticiens comme on avait fait donc voilà je dessine ici un petit cylindre élémentaire à disque élémentaire avec une petite épaisseur et on va calculer comme on avait fait la somme de tous et des volumes de tous ces petits cylindres et qui vont nous donner le volume total de notre solide de révolution donc pour calculer la somme de tous ces volumes de petit cylindre il faut d'abord calculé l'ère de la base du cylindre cette petite terre que je suis enfin de hachures est là et la x l'épaisseur par la hauteur du cylindre alors quelques qu'est ce que serait cette herbe 7 rc pie x le rayon au carré et qu'elle elle rayon ici attention le rayon là c'est la différence entre la valeur racines 2x et la valeur 1 et tu vois le rayon part de barre de 1 et arrive à racine de x ne part pas de zéro pour arriver à racine au xxi par 2 1 pour arriver à racine 2x donc le rayon c'est la différence entre racines de x qui est plus qui est plus en eau est un qui est plus en bas donc ça va être un - racines de x et donc notre rayon là je le mets dans la formule ça va être non pardon je recommence le rayon va être racines 2x moins 1 alors ayons doit être positif donc c'est le plus grand - le plus petit racines 2x moins 1 et donc j'ai inscrit donc ce racines 2x moins à la place du rayon dans la formule du de l'ère du disque et et voilà donc voilà l'ère de noeux l'air d'une phase du cylindre et là il reste plus qu'à multiplier par l'épaisseur dans l'épaisseur cdx ont déjà fait ça souvent il faut à la sla voilà le volume d'un cylindre élémentaire ce volume que l'on veut sommet tout au long de notre solide de révolution alors quelles vont être les bornes d'intégration ben la borne d'intégration là où la racine de x est égal à 1 c1 c'est la racine de 1 qui est égal à 1 et on a dit qu'on faisait ça jusqu'à x égale 4 on a choisi arbitrairement la fin de notre intervalles et la fin de notre intervalle si on a choisi que c'était 4 on aurait pu choisir n'importe quel autre nombre donc attention l axe des abscisses c'est bien celui qui dit qui est en bas ici et voilà je hachures ici là l'air qu'on va faire l'air sous là l'air entre racines de xy aygalenq on va faire tourner autour d'eux y égal 1 et donc notre intégral va être de 1 à 4 et voilà l'intégrale qui va me donner le volume du solide de révolution donc maintenant on passe en mode calcul d'intégrale on sait calculer ce genre d'intégrale donc calculons pour commencer pour faire plus simple on va sortir le pays en dehors de l'intégrale enfin factoriser le pis donc cpie facteur de la somme de l'intégrale de 1 à 4 de racine 2x moins au carré on aura beaucoup de moins en moins de mal à trouver une primitif si on développe ça on va développer sa racine 2x moins un au carré c'est une identité remarquable on allait on va tout écrit racines 2x moins 1 fois racines 2x moins 1 racing ii x3 racines de x a fait x moins une fois racines 2x dortmund racines 2x moins encore une fois racines de x et moins 1 fois moins 1 ça fait plus 1 donc ce développement cette parenthèse c'est dont la développer en x moins deux fois racines de x on voit qu'on a moins deux fois racines de x et le plus sain et tout ceci on le multiplie rdx donc ça va être égal à pie x maintenant il faut que je mette la primitive de ce que j'ai entre parenthèses une primitif par nom de ce que j'ai entre parenthèses primitif 2 x et x 2 sur 2 - deux fois alors qu'elle est à primitif de racines de x voilà on se rappelle que racine de x et x puissance 1/2 et pour trouver la primitive on va incrémenté leurs ennemis on va diviser un nid plus un c3 demi-fond va / 1/2 ce qui revient à multiplier par deux tiers donc on va multiplier par deux tiers fois ça donc on multiplie par deux tiers x x puissance 3 demi pour être bien clair ceux moins deux là c'est le moins deux qui est en bas à c'est le même -2 et le deux tiers fois ex-puissance 3/2 c'est la primitive que j'ai choisi pour racine ii x6 tu cites eu dérive deux tiers faillite puissance 3/2 tu va obtenir x puissance 1/2 fois et trois demis fois deux tiers ça va donner donc tu resteras bien et kicks puissance 1/2 et la primitive du 1 qui traînent là c'est juste le vx et ceci est à prendre entre 24 et donc il nous reste plus que beaucoup de calculs à faire donc je mets le pays entre parenthèses je vais évaluer cette expression pour x égale 4 et soustraire cette expression pour ic ségalen donc quatre carrés sur deux - vingt deux fois deux tiers on va mettre que ces quatre tiers fois on à 10,4 à la puissance 3/2 alors 4 à la puissance admis ces deux de la puissance 3 ses huit donc tout ça ça fait 8 4 à la puissance trois nuits ça fait juste 8 est plus pur x on indique que x étaient quatre et maintenant je vais soustraire à tout ça les pelles expression évalué en x égal 1 donc je mets des parenthèses pour que ce soit bien clair donc allons-y x au carré sur de c1 au carré sur deux dont c'est un demi quand le temps de bien l'écrire tu es le monde change changer de couleur pour que ce soit plus clair donc xo carrés sur deux c1 au carré sur deux c'est un demi hélas quand on prend x puissance qu'on veut comique c'est juste avoir un don qu'il va nous rester le moins 4/3 et +6 que ça va être plus et voilà notre volume un autre volume c'est ça ne reste plus qu'à s'amplifier cette expression calculer ce qui entre parenthèses donc quatre carrés cessé au carré s'est opérée divisé par deux ses 8 - 4 x 8 32 30 2 / 3 c'est moins trente deux tiers +4 et là on va faire attention au moins de 20 on va faire d'erreur de 6 - 1/2 - - 4/3 c'est plus qu'un tiers est moins plus un ça va être moins donc il ne reste plus que tout cette collection fractions à additionner pis facteurs d'hommes mais toulon tout ça sur le même mot même dénominateur le même dénominateur ça va être 6 puisqu'on va d2 et d3 au dénominateur on va mettre tout ça sur 6 ha alors 8 ses 48 6e il faut à 6,48 en trente deux tiers 32 tiers ça fait combien de 6e c 64 6e donc c'est moins 64 6e 4 ça fait combien de 6e ça fait 24 / 6 - 1/2 c - 3/6 ensuite plus 4/3 c'est plus 8/6 et g - 1 - 1 c'est juste six mois 6/6 voilà donc terminons avec cette grande additions et voyons combien on obtient donc 48 - 64 on l'a fait de gauche à droite 48 - 64 ça fait moins 16 et c'est bon oui ça fait moins 16 et -16 je rajoute 24 je rajoute 24 à -16 6 nous reste huit 8 - 3 ça fait 5 5,5 +8 ça fait 13 et 13 - le 6 qui me reste 13 26 ça fait 7 dont tous numérateur se simplifie en 7 et notre volume ça va juste donc j'ai su être 7 pi sur 6 7 puis sur six unités de volume je vais encore vérifié 48 - 64 ça fait moins 16 - 16 +24 ça fait 8 8 et 8 16 16 - 16 16 - neuf ça fait bien cette oui c'est bien donc voilà notre volume de solidor évolution c'est bien cette piste sur six unités de volume pour ce solide de révolution qui est un petit peu une tête de demi ballon de rugby