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Établir l'expression de la réciproque d'une fonction irrationnelle

Transcription de la vidéo

bonjour on va continuer à travailler sur les fonctions réciproques dans cette vidéo alors ici j'ai une fonction h qui est donnée par une expression assez compliqué petit peu plus compliquée que celle qu'on a vu jusqu'à maintenant et on va là aussi essayer de trouver la fonction réciproque donc la fonction h - 1 2x on va essayer de trouver son expression alors comme d'habitude ce qui serait bien c'est que tu réfléchisses un petit peu de ton côté et que tu essayes de le faire et puis ensuite on verra ensemble alors ce qu'on a rappelé plusieurs fois dans les vidéos précédentes ce que je vais faire encore ici c'est que quand on a une fonction c'est une fonction qui associe un nombreu x son image que je peux appeler y je vais l'appeler y ici donc on part d'une valeur x on lui associe une valeur y grâce à la fonction h et trouver la fonction réciproque ça revient à trouver une fonction qui va partir de ce nombre y images et revenir à son antécédent c'est-à-dire nombre x donc ce qu'il faut qu'on fasse en quelque sorte c'est trouver une fonction qui sera la fonction réciproque de hache qui en quelque sorte des faits ce qui a été fait ici pour revenir à la valeur de départ autrement dit ce qu'on va chercher à faire c'est à partir de cette expression de l'image y en fonction de son antécédent x trouver une expression du nombreux x en fonction du nombre y ce qui correspond en fait à renverser l'expression alors pour faire ça bien c'est de l'algèbre il faut manipuler cette expression algébrique mans donc il gèle à réécrire ses y égale l'image y s'exprimer en fonction de son antécédent comme racine - en fasse attention ne pas oublier ceux - - racine cubique de 3x -6 +12 alors l'idée ce serait quand même d'essayer de d'isoler cette racine cubique pour ensuite pouvoir les élever au cube donc ce que je vais faire c'est soustraire -12 des deux côtés et je vais obtenir y -12 égal à - racine cubique de 3 x - 6 voilà alors ici j'ai un - qui est pas très pratique donc ce que je vais faire c'est multiplier des deux côtés par -1 ici je vais avoir moins y +12 qui va être égal du coup à racine cubique de 3 x - 6 voilà alors ici on va faire quelque chose qui te paraît peut-être compliqué c'est qu'on va élever tout ça au cube ça c'est parce que si je prends cette quantité la racine cubique de 3 x - si c'est que je l'élève au cube eh bien il va me rester 3 x - 6 ce qui va être beaucoup plus pratique alors du coup c'est ce que je vais faire je vais élever au cube les deux membres donc je vais avoir moins y +12 élevé au cube qui va être égal a du coup ce d'après ce que je viens de dire tout simplement 3x moins 6 alors ça a l'air compliqué comme ça mais surtout ne t'embarques pas dans des développements qui seront inutiles ce qu'on cherche à faire ici c'est uniquement à exprimer x en fonction d'eux y donc par exemple c'est pas du tout la peine d'aller développer ce cube qui est ici c'est vraiment pas une chose à faire on va le laisser comme ça et on va tout simplement continuer pour essayer d'isoler x alors je vais additionner 6 des deux côtés donc je vais avoir moins y +12 élevé au cube plus si ce qui va être égal à 3 x ensuite je peux / 3 des deux côtés je vais même écrire les choses dans l'autre sens je vais avoir ici x égale à un tiers de moins y +12 élevé à la puissance 3 + 6 sur trois et six sur 3 je peux l'écrire comme ça ça c'est 6 / 3 ça fait deux voilà donc ce que j'obtiens c'était expression laïque segal un tiers de moins y +12 au cube +2 et ça effectivement ça définit une fonction puisque on exprime x en fonction d'eux y ait cette fonction qui est défini de cette manière là eh bien c'est la fonction réciproque 2h donc cette fonction-là h - 1 est ce que je vais pouvoir faire c'est dire que x en fait c'est l'image de y par la fonction h - 1 donc x ch - 1,2 y y avec cette expression là pour la fonction h - c'est un tiers de moins y +12 élevé au cube +2 voilà donc cette expression la définit complètement la fonction réciproque et tu peux faire quelques essais avec quelques valeurs ii x6 du calcul les images de quelques valeurs de x par la fonction haché et que tu calcules ensuite les images de ces résultats par la fonction h - eh bien tu dois retrouver les valeurs de x desquels tu es parti alors ce qu'on a dit dans plusieurs vidéos ce que dans cette expression la variable c'est y mais qu'en fait ce nom là n'a aucune importance on pourrait le changer on pourrait appeler y n'importe quoi d'autre par exemple étoiles donc en fait ce qu'on fait ici c'est partir d'un nombre étoiles et puis calculer son image par la fonction h - 1 et cette image là ça sera h - un deux étoiles et toiles étant ici un nombre réel donc ici dans ce cas là on pourra dire que h - un deux étoiles et bien c'est un tiers de moins étoiles - étoile +12 élevé au cube plus de bon évidemment ça c'est très classique c'est tout à fait juste mais c'est pas très classique ce qu'on fait habituellement c'est noté la variable par la lettre x donc c'est ce que je vais faire ici en fait je vais écrire l'expression de hache comme 2h - comme ça hb - 1 2 x c'est un tiers de moins x +12 élevé à la puissance 3 + 2 voilà ça c'est la fonction réciproque de h ici on sait pas du tout occupé des domaines de définition c'est pas c'est pas un bon réflexe quand on donne une fonction la première chose à faire c'est d'aller étudier son ensemble de définition est effectivement ici il faudrait étudier l'ensemble des définitions de haches et son ensemble images parce que cet ensemble image va être l'ensemble de définition de la fonction réciproque à bientôt