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Établir l'expression de la réciproque d'une fonction rationnelle

Transcription de la vidéo

bonjour alors on va continuer à étudier les fonctions réciproque et en particulier recherchés l'expression de fonctions réciproques dans certains cas ici on a du coup ils fonction rationnelle en fait c'est une caution de 2 polynôme notre fonction g2x ces 2 x moisins sur x + 3 alors comme dans les autres vidéos notre but ici ça va être de trouver l'expression de la fonction réciproque g - 1 2x alors mais la vidéo sur pause essaye de voir si tu peux faire quelque chose de ton côté et ensuite on fera ensemble alors on va quand même reposer un petit peu la situation quand on a une fonction comme celle ci g2x on part d'un ensemble de définition que je peux représenter comme ça ça c'est l'ensemble de définition et notre fonction associe à tous les nombres de cet ensemble de définition des d'autres nombre qui vont faire partie d'un autre ensemble qu'on appelle l'ensemble image donc ici ça c'est l'ensemble images ensemble images on appelle ça aussi l'ensemble d'arriver puisque ce sont toutes les valeurs qu'on peut obtenir avec notre fonction j'ai à partir des valeurs de l'ensemble de définition donc précisément ce qu'on fait c'est que si tu prends un nombre x dans cet ensemble de définition tu vas pouvoir grâce à la fonction j'ai lui associer un autre nombre dans l'ensemble image qui va être le nombre g2x et donc notre fonction j'ai elle permet d'associer aux nombreux x de l'ensemble de définition le nombre g2x de l'ensemble images ça c'est la fonction j'ai alors maintenant ce que fait la fonction réciproque celle inverse c'est à dire quelle part de ce nombre g2x qu'on peut appeler y c'est une valeur qui est dans l'ensemble l'image et à cette valeur y qui est dans l'ensemble l'image est bien la fonction réciproque elle va associer le nombre x qui était en fait l'antécédent de y par la fonction j'ai donc ça ici c'est la fonction réciproque g - 1 x a pour images y par la fonction j'ai donc x et l'antécédent de y par la fonction g et la fonction j'aime moins fait le chemin inverse elle associe un nombre y de l'ensemble image son antécédent par la fonction g ou bien si tu préfères son image par la fonction j'ai moins ça autrement dit si tu prends une valeur x ici tu peux calculer son image par la fonction j'ai en faisant cette opération la 2 x x - 1 / x + 3 es tu trouves un nombre y évidemment x et l'antécédent de ce nombre là et la fonction g - 1 permettrait de passer de y à son antécédent x la situation est complètement différente si on part uniquement de l'ensemble image c'est-à-dire sans savoir qui est x on prend une valeur y là dedans et ce qu'on se demande c'est de quelle x7 valeur provient c'est à dire comment est ce qu'on peut à partir de ce y trouver la valeur x dont elle provient et on pourra répondre à ce genre de questions si on arrive à trouver une expression de la fonction réciproque g - 1 alors pour faire ça en fait il faut inverser un petit peu les choses dans cette expression là ici ce qu'on a c'est une expression de l'image y en fonction de x est ce qu'on voudrait arriver à faire c'est l' inverse c'est-à-dire exprimé x en fonction d'eux y ça nous donnera la définition de la fonction réciproque de g alors on va manipuler cette expression là je vais la ré écrire ici on m'a y qui est égal à 2x moins un sur x + 3 alors là ce que je peux faire c'est me débarrasser du quotient donc je vais x x + 3 des deux côtés et je vais obtenir y x x + 3 égale à 2 x - 1 donc ici je vais avoir y x x y x x + 3 x y dont +3 y et ça c'est égal à 2 x 2 x - ça alors maintenant je vais soustraire 2x des deux côtés et ça va me d'honneur je vais arrêter d'écrire avec le rouge y x - 2 x + 3 y est ça c'est égal à -1 là j'ai simplement soustrait 2x des deux côtés alors ça c'est intéressant parce que j'ai un facteur commun qu'est x donc je vais leur écrire comme ça c'est x factor de y - 2 x factor de y -2 et puis ce 3 y je vais le passer de l'autre côté donc je vais soustraire 3 y des deux côtés donc à gauche du signe égal les trois y vont s'annuler donc il va me rester simplement x x y -2 égal à - 1 - 3 y voilà alors ici pour isoler x maintenant il faudrait 1 / y -2 donc ça c'est possible simplement s'ils y est différent de deux parce que sinon y moi de est égal à zéro donc peut pas / 0 alors s'il y est différent de deux on obtient saïx égal à - 1 - 1 - 3 y / y -2 du coup ici on a exprimé x en fonction de y ce qui définit en fait la fonction g - 1 donc la fonction réciproque de g puisque finalement je peux écrire x comme étant g - 1 g - 1 2 y est l'expression de g - 1 c - 1 - 3 y / y -2 et ce qu'on a vu c'est que c'est ça c'était une expression valable pour y différents de deux dents sur ça c'est important ça définit le domaine de définition de j'ai d'ailleurs je m'aperçois qu'ici on n'a pas déterminé le domaine de définition de la fonction j'ai je vais le faire ici il faut que x soit différent de moins 3 donc je vais l'écrire ici le domaine de définition de g c'est l'ensemble de réel - la valeur - 3 à 7 ans c'est vraiment la première chose qu'il faut faire quand tu as une fonction cdtm déterminer son ensemble de définition en tout cas là j'ai cette expression là de la fonction j'ai moins un que j'ai écrite avec la variable y mais je vais la réécrire comme on l'a fait dans les autres vidéos en fait d'une manière un peu plus classique en appelant x la variable donc ma fonction réciproque g - 1 son expression c g - 1 2x égal à - 1 - 3 y sur y moins deux pour y différent de 2 voilà ça c'est l'expression de la fonction réciproque de la fonction j'ai donc de la fonction g - 1