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Établir l'expression de la réciproque d'une fonction du second degré - 1

Transcription de la vidéo

alors jusqu'à maintenant on a réussi à trouver l'expression de la fonction réciproque d'une fonction affine on l'a fait dans les vidéos précédentes ce qu'on va faire ici c'est la même chose mais avec des fonctions du second degré donc ici on a une fonction f qui est donnée par cette expression la sève de x est égal à x + 2 élevée au carré +1 alors cette fonction-là lé définir sur l'ensemble des nombres réels mais ici on va restreindre l'étude à cet intervalle la x supérieur ou égal à moins 2 alors je te laisse réfléchir sur la raison de cette restriction larmes c'est très intéressant que tu réfléchisses là dessus pour l'instant on va prendre ça pour argent comptant est ce qu'on va faire c'est essayer de déterminer l'expression de la fonction réciproque de f donc l'expression de f - 1 2x pour ça on va suivre le même raisonnement que dans le cas des fonctions affine c'est à dire qu'on va considérer que cette fonction f elle donne une expression de l'image y l'image y en fonction de du nombreux x de la variable x et cette expression là c'est y égale x + 2 o car est plus un donc c'est ça on a une expression de y en fonction de x et si on veut trouver une expression de la fonction réciproque f - st et bien ce qu'il faut qu'on arrive à faire s'est exprimé non pas y en fonction de l'x mais le contraire c'est-à-dire x en fonction de y alors pour faire ça on va manipuler on va faire un petit peu d'algèbre pour essayer d'isoler x et d'écrire x en fonction de y alors pour ça je peux déjà commencé par soustrait un des deux côtés donc ici à gauche du signe égal j' y moins un qui va être égal à x + 2 le tout est élevée au carré et puis là ce qu'on peut faire c'est prendre la racine carrée des deux membres mais il faut faire attention puisque en général ils ont pu il ya deux manières de prendre la racine carrée on peut prendre la racine carrée positive ou la racine carrée négative qu'on a dit c'est que l'on reste renier notre étude aux valeurs de x qui sont supérieures ou égales à moins 2 donc cette relation là elle est vraie pour x supérieur ou égal à moins 2 ce qui veut dire que x + 2 ici ce nombre là x + 2 est positif donc ça c'est pas du tout anodin finalement ça nous permet de décider quel racine carrée on doit choisir et en fait on doit choisir la racine carrée positive puisque quand je prends la racine carrée de ce membre là je dois trouver x + 2 qui est positif donc je dois trouver un nombre positif donc je vais prendre la racine carrée positive je prends racine carrée de y moins un qui doit être égale à la racine carrée positive 2x plus de élevée au carré c'est à dire à x + 2 alors c'est important d'être d'aller doucement et de bien vérifier la validité de ce qu'on fait ici on a effectivement compris pourquoi on devait prendre la racine carrée positive maintenant il faut voir aussi si ça a un sens de prendre cette racine carrée et notamment ceux membres la y moins 1 est-ce qu'on peut prendre la racine carrée de y -1 et pour ça on voit tout de suite qu'il faut que y -1 soit positif donc y soient supérieures ou égales à alors en fait si je regarde on peut le voir sur le graphique si je prends les valeurs x supérieur ou égal à -2 donc j'ai en fait toutes ces valeurs là un dessine en orange et on voit bien que toutes les valeurs de y atteintes sont supérieurs à 1 ça ça correspond aussi au fait que si x est supérieur à - 2 x + 2 est supérieur à zéro donc ce terme là va être supérieur ou égal à zéro ce qui veut dire que le minimum de la fonction la valeur minimale qu'on peut obtenir avec cette fonction est bien c'est un donc finalement cette expression ici elle est valable pour x supérieur à -2 et aussi pour y supérieur ou égal à 1 et sous ces conditions là effectivement ça avait du sens de prendre la racine carrée de y moins ça alors on a presque terminé puisque ici il suffit d'ajouter moins deux des deux côtés du signe égal et on obtient en fait je vais l'écrire que dans ce sens-là x égal à racine carrée de y - 1 - 2 et donc ici on a finalement exprimé x en fonction d'eux y ait ce qui était tout à fait ce qu'on cherchait à faire et en fait ça définit une autre fonction qui va être la fonction réciproque de f donc je vais l'appeler comme ça cf moins 1,2 y y kiéthéga la racine carrée de y - 1 - 2 et cette expression là est valable pour y supérieur ou égal à alors cette expression là tout à fait acceptable on peut la laisser comme ça mais on peut aussi se dire que le nom de la variable n'a aucune importance on peut tout à fait appeler cette variable différemment et en particulier on pourrait au lieu de l'appeler y l'appeler x et dans ce cas là on obtiendrait une forme tout à fait classique qui est celle ci f - 1 2x est égal à racine carrée 2x moins 1 - 2 donc ça c'est vrai pour x supérieur ou égal à 1 et tu vois que ce qu'on fait c'est exactement la même chose tu prends une certaine valeur que tu appelles y ou x et tu calcules son image par cette expression la voilà donc ça c'est l'expression de la fonction réciproque de f alors on va essayer de tracer la courbe représentative de cette fonction réciproque dans le mêmes repères pour ça la meilleure façon c'est d'aller placer quelques points alors pour x égal à 1 g racine carrée de 1 - 1 qui est égal à 0 - 2 donc l'image de 1 c - 2 donc la courbe passe par ce point là ici je vais prendre une autre valeur x égal 2 par exemple pour its égale à 2 gr 2 - 1 qui est égal à 1 racine carrée 2 1 ça fait 1 - 2 ça fait moins 1 donc la courbe représentatives de la fonction réciproque elle va passer par le point de coordonnées 2 - 1 qui est celui ci et puis bon je vais essayer de trouver d'autres valeurs facile à calculer si je prends x égale à 5 je vais avoir ici racine carrée de 5 - 1 donc racine carrée de quatre qui étaient bien là 2 - 2 ça va être égal à zéro donc la courbe va passer par le point de coordonner 5 0 qui est celui ci alors maintenant je vais tracé cette courbe à peu près juste pour avoir une idée voilà elle est quelque chose comme ça alors je t'avais dit dans la toute première vidéo sur les fonctions réciproque coeur général les courbes représentatif d'une fonction et de sa fonction réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équations y égale x alors je vais tracé cette droite d'équations y est gallix ici voilà c'est celle-là ça c'est la courbe d'équations y est gallix et tu peux vérifier que la courbe représentative de f qui est ici en orange et la courbe représentatives de la fonction réciproque qui est ici y égale f - 1 2x et bien ces deux courbes là sont symétriques par rapport à cette droite verte d'équations y est gallix et du coup c'est ce qui correspond au fait que ont fait le chemin inverse en prenant l'une ou l'autre des fonctions par exemple l'image de 0 par la fonction f c'est le nombre 5 qui est ici et l'image du nombre 5 par la fonction f - 1 et bien je le lis ici c'est zéro donc effectivement ce sont ces deux fonctions sont bien réciproque l'une de l'autre et le fait que les deux courbes représentatif soit symétrique par rapport à la première bissectrice cette droite d'équations y est gallix et bien ça corresponde au fait que essentiellement se confesser échanger lax dx est l'axé des ordonnées