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Établir l'expression de la réciproque d'une fonction du second degré - 2

Transcription de la vidéo

alors on a cette fonction-là fgx qui est égal à x moins élevée au carré - deux donc c'est une fonction de degré 2 qui est normalement est défini sur l'ensemble des réelles mais ici ce qu'on va faire c'est la considérer seulement pour les valeurs de x plus petit que 1 en fait ici tu vois on a tracé la courbe représentative de cette fonction-là sur cet intervalle donné pour les valeurs de x plus petit que 1 est en fait tu vois ça correspond à considérer uniquement la moitié gauche de la parabole l'on considère pas la parabole en entier mais seulement sa partie gauche alors on va faire comme dans les autres vidéos précédentes c'est à dire qu'on va essayer de tout de trouver une expression de la fonction réciproque de f et ça serait intéressant que tu réfléchisses de ton côté sur le pourquoi est-ce qu'on doit restreindre le domaine de définition de notre fonction et pourquoi est ce que si on ne le faisait pas ça serait impossible de définir cette fonction réciproque alors on va commencer à travailler donc on va faire comme d'habitude c'est à dire qu'on va se dire que cette fonction là elle associe à un nombre x un autre nombre qui est son image qu'on peut appeler y donc ce combat ici en fait cette expression là je vais leur écrire c'est une expression de l'image y en fonction de la variable x et cette expression c y et gallix moins élevée au carré - 2 qu'on considère pour x plus petit que 1 inférieur ou égal à 1 alors ici on exprime y en fonction de x si on veut chercher la fonction réciproque il faudrait arriver à exprimer x en fonction d'eux y est pour ça qu est-ce qui va être utile c'est déjà de regarder quel et l'ensemble images de cette fonction f pour l'intervalle donner ici x plus petit que 1 puisque cet intervalle image quand on va passer à la fonctionner si proc est bien ça va devenir le domaine de définition de notre fonction réciproque alors ici quand on prend des valeurs x plus petit que 1 et bien en fait les images y sont plus grandes que moins de on peut le voir ici sur le graphique et ça correspond au fait que cette quantité la x moins élevée au carré toujours positive donc l'expression f 2 x est toujours supérieur à moins 2 donc finalement ce qu'on peut ajouter ici à cette expression qui est là c'est que y doit être plus grand que -2 y doit être plus grand que moi alors ça on le garde en tête pour un peu plus tard ça va nous servir puisque finalement ça va définir le domaine de définition de notre fonction réciproque rappelle toi que on a une fonction f qui part d'un domaine de définition qui prend ses valeurs dans un ensemble d'arrivée qui est l'ensemble images et cet ensemble images et bien c'est le domaine de définition de la fonction réciproque quand elles existent alors maintenant je vais manipuler cette expression pour essayer d'isoler x et de l'écrire en fonction d'eux y donc déjà je vais ajouter 2 de deux côtés donc je vais avoir y +2 à gauche du signe égal qui va être égale à 6 - 1 élevée au carré et ça c'est vrai donc pour x inférieur ou égal à 1 et ce qu'on sait aussi c'est que y peut-être supérieur 1 - 2 alors maintenant ce qu'on a envie de faire à partir de cette expression lassé de prendre la racine carrée des deux côtés c'est la bonne idée mais il faut faire attention parce que quand on prend une racine carrée on peut prendre soin la racine carrée positive soit la racine carrée négative ce qui va donner des résultats différents évidemment alors qu'elle racine carrée doit-on choisir ici bien ce qu'on sait c'est que x est plus petit que 1 donc x - ici x - 1 en fait est négatif x - est négatif donc ici quand on prend la racine carrée 2x moins élevée au carré est ce qu on veut trouver cx moins un qui va être une valeur négative donc il faut qu'on prenne une racine carrée qui va nous donner une valeur négative donc une racine carrée négative alors pour être très très clair là dessus ce que je peux faire c'est prendre en exemple comme ça si j'ai moins trois élevée au carré ça c'est égal à 9 et si je prends la racine carrée des deux côtés racine carrée de -3 élevée au carré et bien ça c'est donc la racine carrée de 9 et racine carrée de neuf ça peut être trois ou moins 3 si je veux avoir ici - 3 eh bien il faut que je prenne ici là - l'opposé de la racine carrée de neuf donc ce que je vais faire c'est prendre la racine carrée négative aux membres de gauche voilà donc je vais avoir ici - racine carrée de y +2 et ça ça va être égal à racine carrée 2x moins élevée au carré tu vois que ce que je fais est cohérent puisque ici quand je prends racine carrée 2x moins élevée au carré eh bien je vais avoir x - 1 quai négatif est ici et je vais avoir aussi un nombre négatif donc c'est cohérent alors ça c'est vrai pour x plus petit que 1 et puis pour y plus grand que moins deux et on peut remarquer d'ailleurs que cette condition là y plus grand que -2 et bien prend tout son sens ici puisque dans ce cas là il y plus de est positif ce nombre-là est positif donc on peut effectivement prendre la racine carrée de ce nombre là y plus de voilà donc ça c'était une condition importante parce que si c'était pas le cas on pourrait pas forcément prendre la racine carrée ici aux membres de gauche alors je continue je vais réécrire cette expression là un peu plus proprement donc j'ai moins racine carrée de y + 2 qui va être égal à racine carrée de x moins élevés au cac reste c'est à dire x - 1 et ça c'est vrai pour je leur ai écrit à chaque fois que ça permet de bien y penser pour x inférieur ou égal à 1 et puis on a aussi y supérieur ou égal à moins 2 alors là j'ai pratiquement terminée puisque à partir d'ici je peux exprimer très facilement x en fonction d'eux y tout simplement je vais ajouter un des deux côtés je vais obtenir cette expression la x égal 1 - racine carrée de y +2 donc ça c'est vrai pour alors je réécris cette condition là x inférieur ou égal 1 mais ce qui est important ici c'est surtout cette deuxième condition y supérieur ou égal à -2 y supérieur ou égal à moins 2 ici on a donc une expression de x en fonction d'eux y ça définit une nouvelle fonction qui est la fonction réciproque de f et en fait on va pouvoir écrire que x et l'image par cette fonction réciproque f - 1 du nombre y comme ça et l'expression de f - c'est un moins racine carrée de y +2 pour y supérieur ou égal à moins 2 là on a défini la fonction réciproque de f par son expression alors si tu veux on peut la réécrire de manière un peu plus classique en changeant le nom de le nom des variables on sait que l'image d'un nombre x par la fonction réciproque f noise un don qui ça va être un nombre y kiev - 1 2x et qui est donnée par cette expression la 1 - racines 2x plus deux pour x supérieur ou égal à moins 2 voilà ça c'est l'expression de ma fonction réciproque avec son domaine de définition et tu vois qu'ici on voit bien ce qui s'est passé on part d'une fonction f qui est définie pour 7 sur cet intervalle ax plus petit que 1 ça c'est son ensemble de définition son ensemble images c'est les valeurs y supérieur ou égal à -2 et cet ensemble image devient le l'ensemble de définition de la fonction réciproque y égale f - 1 2x alors maintenant on va essayer de tracer la courbe représentative de f moisins donc pour ça ce que je vais faire c'est prendre quelques valeurs je vais agrandir cette barre de racine carrée alors je vais essayer de prendre quelques valeurs simples si je prends x égal à -2 je vais avoir ici - de plus de ça va faire zéro donc je vais avoir un mois racine carrée de zéro c'est à dire un donc la courbe représentative de f - 1 passe par le point de coordonnées moins de 1 - 2 1 qui est ici voilà elle va passer par ce point je vais prendre quelques autres points si je prends x égal moins un ici j'aurais racine carrée de - 1 + 2 c'est-à-dire racines car est de 1 est donc finalement l'image ce sera 1 - 1 c'est à dire zéro donc la courbe va passer par le point de coordonnées - 1 0 qui est ici alors si je prends le point de coordonnées x égal 2 maintenant je vais avoir ici racine carrée de 2 plus 2 c'est-à-dire racine carrée de 4 c'est à dire 2 et donc l'image de 2 sera 1 - 2 c'est-à-dire moins 1 donc la courbe va passer par le point de coordonnées 2 - 1 qui est celui ci voilà je peux placer un autre point pour que ce soit un petit peu plus clair si je prends la valeur x et galles cette ici je vais avoir 7 + 2 c'est à dire neuf racines de neuf ça fait 3 donc j'aurai 1 - 3 c'est-à-dire moins deux donc la courbe passe par le point de coordonnées 7 - 2 kg et celui ci alors maintenant je vais essayer de tracer cette courbe le plus proprement possible c'est pas évident à la main voilà faire quelque chose comme ça c'est pas très joli mais c'est à peu près ça et on peut faire la même constatation que ce qu'on a fait dans les vidéos précédentes situe traces la droite d'équations y égale x qui est donc celle ci voilà ça c'est la droite d'équations y égale x ça c'est la courbe représentatives de la fonction réciproque donc la courbe d'équations y égale f - 1 2x et tu peux vérifier en prenant quelques valeurs que ces deux courbes la la courbe de f et la courbe de f moisins son symétrique par rapport à la droite d'équations y est gallix