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Aire sous la courbe et intégrale négative

Transcription de la vidéo

nous avons ici le graphe de la fonction f 2 x égale caussinus x entre 0 et 2 pi et on voudrait essayer d'évaluer certaines aires sous les courbes mais on va commencer un par l'air sous la courbe entre x égal 0 eric segal pis sur deux c'est à dire comme on l'a vu que ça s'écrit un voile api sur 2 sur l'axé des abscisses que ça s'écrit intégral entre 0 et bi sur 2 1 voilà l'ère que j'assure de cosinus x dx il suffit donc de calculer cette intégrale sur le même modèle que ce qu'on a fait précédemment et nous allons voir la valeur de ses terres 1 je te rappelle que l'intégrale c'est c'est considéré comme faut faire une somme infinie de tout petits rectangles de taille infiniment petit et qui forment cette ère en entier pour pouvoir les calculs est d'accord bon on a vu un moyen de le calculer qui se base sur le second théorème fondamental de l'analyse et qui consiste à dire si jamais on trouve une primitive de la fonction caussinus à ce moment là la valeur dieu de l'intégrale ce sera la différence entre cette primitive évaluant pis sur deux et sept primitive évalué à 0 donc tout ce qui nous reste à faire c'est trouver une primitive la fonction caussinus or on sait que la dérivée de la fonction sinus c'est caussinus donc voilà on a trouvé une primitive de la fonction caussinus un qui serait fonction sinus et 10 une primitive parce qu'on en a plein on a plein des primitives n'importe quelle fonction de la forme cygnus x plus une constante c'est va avoir pour dériver caussinus x puisque la constante ca pour dériver 0 que que c'est soit égal à zéro dix vingt cent cinquante mille dix milliards ça n'a aucune importance la dérive sa dérivée 0 il a donc la dérivée de la fonction eco sinusite on va prendre comme primitive on va choisir comme primitive puisqu'il faut en choisir une on va choisir la plus facile deux d'entre elles s'y musique c'est à dire qu'on va considérer que la constante c est égal à zéro voilà donc je te rappelle qu'on écrivait ça on allait adopter une notation entre crochets pour faire la différence on a écrit que donc cygnus x entre crochets à prendre entre 0 et pis sur deux et ça c'est exactement égale la différence à la différence entre le sinus de pi sur deux et le sinus 2 0 et donc le sinus de pi sur deux savoie 1 le sinus 2 0 ça vaut 0 1 - 0 égal 1 donc cette ère dans un repaire hauteur alors tu normal s'était rassurée là où une unité d'un donc voilà l'ère sous la courbe entre 0 et pis sur deux essayons maintenant avec d'autres bornes on veut calculer l'air entre la courbe l axe des abscisses lorsque x varie de pi sur deux à trois puis sur deux lorsque x varie de pi sur deux à trois pistes sur deux heures prend un instant pour regarder le graphe de la fonction pour savoir de quel air il va être question entre pie sur détroit puis sur deux voilà il s'agit de ces terres là qui se trouve à la qui se trouve au dessus de la courbe entre la courbe est l'axé des abscisses et on va essayer d'évaluer ces terres là eh bien on va essayer de faire comme précédemment calculé donc l'intégrale entrepris sur deux trois puis sur deux de cosinus xd x exactement par la même méthode 1 la primitive je prends la primitive 6 music ce la plus facile de doute les primitives entre pie sur 2 et 3 pi sur deux et je fais la différence entre sinus de 3 pi sur deux et sinus 2 pi sur deux est bien remplaçons ses sinus par leur valeur si tu as du mal avec le sinus de trois pistes sur deux je peux te redessiner le cercle trigonométriques est sûre ce cercle 3 pi sur deux c'est le point qui se trouve là tout en bas et son sinus celle ordonnée de ce point et leur donner de ce point c'est moins donc le sinus de 3 pi sur devaux - 1 et le sinus de pi sur deux il suffit de le regarder sur le cercle c'est juste un tour de vis sur deux dans le sens direct ça donne un comme sur l'as désordonnée et donc la j'obtiens - 1 - 1 et ça fait moins deux semblerait vouloir dire que c'était revault - 2 alors dans la vie de tous les jours et en mathématiques aussi les airs ne peuvent pas être négative maintenant pourquoi on obtient un résultat négatif je te rappelle qu' on a fait la somme de cosinus x x dx qui est une largeur infinitésimale de rectangle mais caussinus x entre pie sur deux et trois pistes sur deux a une valeur négative en gouaille où l'on lit et soulac des abscisses donc en fait on a fait la somme de plein plein plein de nombres négatifs caussinus x quoi dx est une ce sont des vals de petites valeurs infinitésimale mais négative et quand on les additionne ça donne un résultat négatif donc en fait quand vous avez une fonction négative l'air qui la sépare en vous obtenez pas l'air en calcul intégral vous obtenez l'opposé de l'air et regardez même encore quelque chose alors qu'est ce qui se passe si je prends ici une partie positive une partie négative on va calculer l'intégrale entre 0 et 3 pi sur deux de cosinus xd hic c'est à dire qu'on a calculé on va partir de là et on va arriver jusque là bas là tout ce que je suis en train de s'assurer et donc savez ça va faire donc si muzzix entre 0 et 3 pi sur deux sinus de 3 pi sur deux - sinus 2 0 c'est - à - 0 c - 1 alors à quoi correspond ce -1 et bien il correspond en rave en négatif une r21 négatif combiné avec une aire de -2 positif dans les airs se sont additionnées avec leurs signes respectives c'est à dire que les airs les airs comptez négativement se sont compensées avec les airs compter positivement et comme il est plus de négatif que de positif ça a donné un bilan comptable de -1 donc lorsqu'on fait une intégrale de ce genre là ce qui est en dessous de la courbe est compté négativement donc c'est l'opposé de l'air en dessous de la courbe ce qui est au dessus de la courbe est compté positivement et on a le bilan du négatif et du positif d'accord pour avoir une intégrale de zéro pour avoir une intégrale qui vaut zéro faudrait qu'il y en ait autant au dessus de l'axé des abscisses qui est autant d'air au dessus de la des abscisses coeur en dessous de lax des abscisses là il faudrait que les airs ce qu'on pense exactement et comment est ce que je vais pouvoir obtenir sa mérignac à prendre l'intégrale entre 0 et 2 bis alors essayons et tuera que c'est un marché de prendre l'intégrale entre 0 et 2 pi 2 scoci news x dx intégral entre 0 et 2 pi de cosinus xd x donc je vais aussi compté sept parties der la tu peux comprendre par symétrie que cette partie des relais va aussi voir un valoir 1 et donc 1 + 1 - 2 ça va donner 0 donc ça se voit sur le dessin quand on a compris comment lire les airs ça se verra aussi par le calcul intégral de zéro à deux pics caussinus xd x et xi musique ce prix entre 0 et 2 pi sinus et une fonction périodique de période depuis le sinus de deux pistes exactement la même chose que le sinus 2 0 on dans ce cas là ça vaut zéro mais donc 0 - 0 ça fait zéro et on obtient bien lunaire qui vaut zéro parce que toutes les aires compter positivement et toutes les airs côté négativement se sont compensées