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Analyse de la représentation graphique d'une fonction exponentielle de valeur initiale négative

Les fonctions exponentielles

Transcription de la vidéo

bonjour à tous on va faire cet exercice ici on nous dit que la courbe ci-dessous et la représentation graphique d'une fonction exponentielle fonctions exponentielles c'est important qu'on appelle f et on nous demande de déterminer la valeur de la variable x pour laquelle on a fgx égal moins un sur 25 autrement dit on ne donne la courbe représentative et on nous demande de déterminer l'antécédent de -1 sur 25 par cette fonction f alors comme on nous donne une représentation graphique évidemment on est tenté d'essayer de répondre graphiquement à cette question et effectivement ça serait parfois très faisable de trouver l'antécédent d'un nombre à partir d'une laitue d'une lecture graphique par exemple ici si je veux l'antécédent de -5 bien moins cinq il est là et ça correspond à celle ordonnée de ce point qui est ici et donc on peut facilement puisque c'est sur le quadrillage tombé sur la valeur x égal 1 qui est donc l'antécédent de -5 par la fonction f voilà dans certains cas ça sera tout à fait possible mais tu vois bien que pour avoir une réponse précise il faut que la valeur qu'on nous donne soit sur le quadrillage il ya un autre problème c'est que quand on regarde des valeurs très proche de zéro négative mais très proche de zéro donc par ici et bien l'échelle seraient choisis ne permet pas du tout de voir à quel point de la courbe sa correspondent donc ici par exemple pour -1 sur 25 déjà on a du mal à placer moins un sur 25 précisément ici alors plus ça va être impossible de voir à quel point de la courbe ça correspond puisque si la courbe se confond pratiquement avec l'axé des abscisses donc on peut pas répondre à cette question graphiquement ça serait impossible alors il faut qu'on trouve une autre façon de faire et pour ça on va utiliser ce qu'on connaît des fonctions exponentielles effectivement ce qui est très pratique avec les fonctions exponentielles c'est qu'elles sont une forme bien précises en fait l'expression de f puisque c'est une fonction exponentielle ça va être quelque chose comme à foix r à la puissance x ça c'est ce qu'on a vu dans la dernière vidéo et en avaient même dit que a été la valeur initiale donc c'était la valeur obtenue pour x égal zéro donc ça acf 2 0 et ça on peut le lire sur le graphique f20 x égal zéro c'est là et f20 on le voit ici c'est ce point là donc f20 c'est moins 25 on avait vu aussi que ce terme là r qu'on élève à la puissance x ça c'est ce qu'on avait appelé la base de la fonction exponentielle et on avait vu que pour calculer cette base et bien il suffisait de calculer le rapport entre les images de deux nombres consécutifs de deux valeurs consécutive alors ici la variable est réel donc le terme consécutif il faut qu'on explique bien en fait on avait dit que la base air et bien c'était le rapport entre l'image de x + 1 et l'image de x donc ce rapport la f2 x + 1 sur f2 x et ça c'était vrai pour n'importe quelle valeur de x1 est donc le terme consécutifs ça veut dire que les deux nombres sont séparés par une unité alors ici on va essayer de trouver une valeur de x pour laquelle tout ça sera assez facile à déterminer graphiquement c'est à dire pour les pour laquelle on va pouvoir lire les images de x et 2x plus un sur le graphique et on avait déjà calculé f20 le petit la valeur initiale ici qui était égal à -25 donc ce que je vais faire c'est essayer d'utiliser la valeur x égal zéro donc ici je vais avoir f20 au dénominateur et puis f-210 +1 au numérateur et f21 ça tombe bien puisque f21 on peut la lire facilement f21 c'est l'image du 2x égale 1-1 et donc le point de la coupe c'est celui là ce qui veut dire que l'image de 1 c - 5 donc f21 est égal à -5 et finalement mon rapport c'est moins 5 / - 25 - 5 / - 25 ça fait 1 5e et là tu vois on a complètement déterminé l'expression de la fonction exponentielle f je vais la ré écrire ici f 2 x eh bien c'est la valeur initiale qui est moins 25 - 25 fois la base élevé à la puissance x et la base c'est un cinquième donc finalement l'expression de ma fonction c'est moins 25 fois un cinquième élevé à la puissance x alors tu vas me dire que c'est pas du tout ce qu'on nous demande est effectivement c'est vrai mais comment est-ce qu'on peut maintenant répondre à la question qui est posée c'est à dire déterminer l'antécédent de -1 sur 25 par f et bien tout simplement on va considérer une équation et on va essayer de résoudre cette équation l'équation qu'on va essayer de résoudre ces f 2 x égal à -1 sur 25 résoudre cette équation ça correspond vraiment à déterminer l'antécédent de moyens sur 25 et cette équation là eh bien je vais la ré écrire ici ça me donne moins 25 fois un cinquième élevé à la puissance x 1 5e et ça ça doit être égale à -1 sur 25 alors là la voie à suivre est peut-être pas très très facile à voir mais du coup on va faire ce qu'on peut faire donc là je comme je cherche à isoler x je vais déjà / moins 25 des deux côtés donc là je vais avoir un 5e élevé à la puissance x alors ça va être positif puisque j'ai moins / - et ensuite au numérateur g1 et au dénominateur j'ai 25 x 25 et ça c'est 25 élevée au carré alors je l'écris comme ça parce que ça me semble intéressant de tout exprimé en puissance de 5 en fait puisque là je vais avoir des puissances de 5 et du coup ça serait bien d'avoir des puissances de 5 aussi ici donc ça je vais même l'écrire comme ça puisque 25 élevée au carré 25 c5 élevée au carré j'élève encore au carré ça me donne cinq élevé à la puissance 4 voilà maintenant la seule chose que je peux faire c'est utiliser ce que je sais sur les fractions élevé à une certaine puissance en fait la g1 élevé à la puissance x / 5 élevé à la puissance x et ça ça doit être du coût égal à 1 sur 5 élevé à la puissance 4 un élevé la puissance x est un donc j'ai un sur cinq élevé à la puissance x qui doit être égale à 1 sur 5 élevé à la puissance 4 et là c'est vraiment pas mal ici c'est un exposant ce pas très joliment écrit voilà donc un sur cinq puissance x égal à 1 sur 5 puissance 4 et ça c'est assez intéressant parce que si je passe aux inverse je dois avoir une égalité aussi donc finalement ce que j'ai j'écris ici c'est cinq puissances ix qui doit être égale à 5 puissance 4 et 6 de chaque côté du signe égal g5 élevé à une certaine puissance et pour que ce soit égal il faut que les exposants soit égaux donc il faut que x soit égal à 4 il faut que x soit égal à 4 ce qui veut dire que l'antécédent du nombre - 1 sur 25 et bien c'est 4 et du coup on m'a répondu à la question alors tout garder à l'esprit que tu peux vérifier ton résultats puisque s'il l'antécédent de -1 sur 25 c 4 ça veut dire que f24 doit être égale à moins d'un sur 25 donc tu peux calculer f24 f24 c'est moins 25 fois un sur cinq élevé à la puissance 4 et ça je te laisse faire le calcul ça sera une bonne chose et tu dois trouver moins sur 25 voilà c'est toujours un bon réflexe de comprendre comment est-ce qu'on peut vérifier les résultats qu'on m'a trouvé