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Modéliser par une fonction exponentielle si on connaît le pourcentage d'évolution

Les fonctions exponentielles

Transcription de la vidéo

cheppi et écologues elle étudie la variation de la population de narval dans l'océan arctique au cours du temps ces observations montrent que cette population perd 5,6 pour cent de son effectif tous les deux huit mois tous les deux mois il ya 5 6 % de narval en moins dans l'océan arctique la population des narvals peut être modélisée par une fonction n qui dépend du temps écoulé en moi donc du temps écoulé depuis le début de l'étude au début de son étude l'océan arctique abritait 89000 narval donc ça c'est ce qu'on va considérer comme la population initiale au début de l'étude déterminez l'expression de la fonction n qui modélise le nombre de narval dans l'océan arctique témoin après le début de l'étude alors je te laisse réfléchir à ça de ton côté si tu trouves des idées c'est très bien sinon de toute façon on le fera ensemble alors bon moi j'aime bien voir un peu ce qui se passe et pour ça c'est toujours bien de faire un tableau de valeur ça permet de comprendre un peu le comportement de cette fonction est de donc de l'évolution de la population de narval ici alors je fais un tableau de valeur ici je vais mettre le nombre de mois écoulés depuis le début de l'étude est ici évidemment le nombre de narval en fait qu'il y aura dans l'océan arctique alors ce que je sais c'est qu'au début de l'étude y avait 80 9000 narval dans l'océan arctique donc pour tes égal à zéro g la population initiale qui est 89000 89000 alors maintenant je vais essayer de trouver une deuxième valeur intéressante et pour ça en fait je vais utiliser ce qu'on me dit ici c'est que là la population perd 5,6 pour cent de son effectif tous les deux huit mois donc une date intéressante c'est la date est égale 2,8 mois donc l'effectif de la population de narval 2,8 mois après le début de l'étude alors qu'est ce qui s'est passé exactement et bien on dit ici que la population a perdu 5,6 pour cent de son effectif c'est à dire qu'au départ il y avait 100% de narval on peut le dire comme ça il y avait 100% de narval et maintenant il y en à 5,6 pour cent de moins donc ce qui nous reste en fait en pourcentage de la population initiale cessant moins 5,6 c'est à dire 94,4 donc ce qu'on dit ici à la population perd 5,6 pour cent de son effectif tous les deux huit mois on pourrait tout à fait le dire d'une autre manière en disant que la population de narval un instant donné eh bien ces 94 4 % de la population 2 8 mois avant donc ici finalement le nombre de narval à ça se tente est égal 2 8 mois eh bien ça va être la population initiale donc deux mois avant x 94 4% donc je vais écrire ça comme ça 89 milles je peux dire x 94 4% ou bien je peux écrire ça directement comme ça c'est 89 x 0,9 144 alors ça c'est vrai pour tout espace pour toutes durées de 2 8 mois donc si je prends deux fois cette durée là donc deux fois 2 8 2 x 2,8 ça fait 5,6 mais je laisse comme ça c'est pas mal de laisser les calculs apparent pour voir un peu les motifs donc au bout de ce temps là deux fois de huit mois et bien en fait je vais avoir 94 4 % de cette population là donc que je vais avoir en fait cette population-là x 0,9 144 je vais l'écrire comme ça c'est 89000 x 0,9 144 que je dois encore x 0 944 donc je vais l'écrire comme ça c'est 89000 x 0,9 144 élevée au carré alors je vais regarder maintenant ce qui se passe au bout de trois périodes de 2 8 mois donc trois fois pour tes égale trois fois de huit mois eh bien je vais avoir en fait 94 4 % de cette population là de la population précédente une période avant et donc je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est 89000 x 0,9 144 élevé à la puissance 3 puisque ici j'ai zéro 1944 au carré que je multiplie encore par 0.9 144 voilà alors on peut continuer si tu veux tu peux le faire si c'est pas très clair mais là je pense qu'on voit c'est bien ce qui se passe en fait on est tout à fait dans le cas d'une fonction exponentielle puisque pour passer d'un terme à celui une période de 2 8 mois plus tard eh bien je multiplie par 0,9 144 et ça c'est vrai que tu peut le remarquer à chaque grand ici hein donc ce nombre là 0 944 et bien ça va être la base de notre fonction exponentielle du coup la fonction exponentielle je vais l'écrire comme ça cn de tai chi est égale à la population initiale dont 89 milles narval au début de l'étude de chez pie x la base de notre fonction exponentielle qui est ici 0,9 144 élevé à 1 certains exposants alors il faut pas se tromper pour trouver l'exposant ce que j'ai ici c'est que si je prends une fois la période j'ai un exposant de 1 ici si je prends une fois une période de 2008 j'ai un exposant de 1 ici si je prends deux fois la période bien je vais avoir un exposant égale à 2 si je prends trois fois la période va voir un exposant égale à 3 en fait l'exposant ici il représente le nombre de périodes de 2 8 mois écoulé je vais l'écrire comme ça s'était divisé par 2 8 et u pour effectivement vérifier que ça marche tu remplaces t par ces valeurs là tu dois retrouver exactement les résultats qu'on a noté dans le tableau de valeur et tu vas voir que ça marche voilà donc ça c'est le résultat cette fonction-là m2t égale 89000 x 0 944 élevé à la puissance t sur 2,8 et bien c'est la fonction qui modélise le nombre de narval dans l'océan arctique témoin après le début de l'étude alors je dis ça avait effectivement je peux ajouter quand même une petite chose on a défini les exposants ici en regardant ce qui se passe à partir de valeurs entière issime cité est une fraction de la période de 2 8 mois eh bien tu pourra quand même calculer cet exposant relaté sur 2,8 et du coût calculé l'effectif de narval à l'instant donné voilà