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Les fonctions exponentielles

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrais te parler un petit peu de ce qu'on appelle les fonctions exponentielles les fonctions exponentielles est en fait ce qu'on va voir dans cette vidéo c'est principalement on va essayer de comprendre pourquoi est ce que dans le langage courant on parle de une croissance exponentielle pour parler d'une quantité qui grandit très très vite et de plus en plus vite alors pour commencer on va prendre un exemple de ce qu'on appelle une fonction exponentielle et ça va être par exemple la fonction y égal 3 élevé à la puissance x attention ici c'est pas x au cube c'est pas xlv ^ 3 puisque la variable x bien celle exposants donc il faut bien faire attention à ça c'est y égal 3 élevé à la puissance x alors pour commencer je vais prendre quelques valeurs on va faire un tableau de valeur prendre quelques valeurs de la variable x alors ici je vais mettre les valeurs de la variable x que je vais choisir donc je vais prendre par exemple x égales - 304 pardon x égal moins 3 x égales - 2 x égales - 1 x égal zéro x égal 1 x égal 2 x égal 3 et xml 4 je vais prolonger un petit peu mon tableau voilà et on va calculer les valeurs de y correspondante donc dans cette colonne je vais mettre les valeurs de y correspondant alors pour x égales - 4g y qui va être égal à 3 élevé à la puissance moins quatre points devant la puissance - 4 c'est un sur trois est levée à la puissance 4 et 3 et à la puissance 4 c 9 v o car est donc ses 81 finalement ici j'ai un sur 80 pour x également un 3g y correspondant ces trois élèves et la puissance moins 3,3 élevé la puissance -3 7 1 sur 3 élevé à la puissance 3 et 3 élevé à la puissance 3 ces 27 donc finalement j'ai un sur 27 tu vois que là on est passé de 1 sur 81 1 sur 27 c'est déjà pas mal en fait on a multiplié par 3 ici alors je continue 3 élevé la puissance moins de ses 1 sur 3 élevée au carré donc c'est un sur neuf et là tu vois qu'on a encore multiplié par trois les images pour x égal moins un g3 élevé la puissance moins-13 élevé à la puissance - 1 c'est un tiers c'est un sur trois et là on a encore multiplié par trois pour x et gaz et roger trois ils veulent la puissance 0 qui est égal à 1 pour x égale un c3 élevé à la puissance 1 c'est à dire 3 pour x égal 2 l'image c'est 3 élevée au carré 3d cao carré ça fait 9 pour x égal 3 g iii élevé à la puissance 3 3 au cub3 occupe ça fait 27 ensuite pour x égale 4 g iii élevé à la puissance 4 3 élevé à la puissance 4 on a dit tout à l'heure que ça faisait 80 et donc tu vois qu'à chaque fois en fait je multiplie par 3 ici on ne peut pas pour passer de la à l'ag x 3 ici je multiplie par 3 par 3 encore par trois encore ici quand la variable x augmente de une unité et bien l'image y va être multiplié par trois tu vois qu'en fait on passe de nombreux très petit à des nombres qui sont quand même assez grand et d'ailleurs si tu veux je peux même faire je vais rajouter une autre image pour x égale 5 pour x égale 5g l'image correspondent ces trois élevé à la puissance 5 qui est égal à 81 x 3 80 x 3 5 243 243 tu vois qu'on arrive vraiment un des noms très très grand donc quand on regarde ce tableau de valeur on se dit que la croissance de la fonction y est très très rapide alors on va essayer de graffer sa de tracer la représentation graphique de cette fonction pour voir encore mieux ce qui se passait à quel point cette croissance est très rapide alors pour tracer le graphique j'ai pris une grille ce sera plus facile et je vais tracé des axes alors je vais tracé lax désordonnée ici voilà à peu près au milieu et puis l'axé des abscisses en fait toutes les ordonner ici sont positifs donc j'ai pas besoin d'avoir de la place dans les cadrans pour y négatif donc je vais placer l'axé des abscisses ici parce que de toute façon j'ai aucune valeur négative de y donc ici cx est ici c'est y est comme unité sur l'axé des abscisses je vais dire qu'un carré à carros est un donc l'aller 1 2 3 4 5 et puis ici c'est moins 1 - 2 - 3 et -4 ordonnez c'est un peu plus compliqué puisque tu vois que ça grandit très vite donc il faut que j'aille que je puisse aller 2-1 sur 81 à 243 donc je vais réduire un petit peu je vais exclure là je vais pas tenir compte de la valeur x et gagnent 5 donc il faut que je puisse aller jusqu'à 80 donc 1 2 3 4 5 6 7 8 donc on va dire que ici c'est 80 donc la c70 là c'est 60 là c'est 50 40 30 20 et 10 alors je vais commencer par le plus simple ici pour x égal zéro c'est leur donner à l'origine on a trois puissances zéro c'est à dire un donc pour x égal zéro qui est ici je suis alors hein c'est à peu près la dixième de cette longueur l'a donc la courbe de cette fonction-là passe par ce point si ensuite je vais placer ce point là pour x égale 1 1 je suis à 3 donc 3 on va dire que c'est de là à peu près pour x égal 2 je suis à neuf donc neuf c'est ici pour x égal 3 je suis à 27 donc il sait qu elles trois ces l'avancé la 25 26 27 c'est là tu vois que là on a une courbe qui monte très vite je vais continuer avec la valeur x égale 4x égale cats est ici et pour x égale 4g l'image correspondante qui est égal à 80 80 et 81 c'est la voilà alors maintenant je vais regarder ce qui se passe avec les valeurs négatives 2 x et tu vas voir que là ça va être un peu plus difficile à placer parce que pour x égales - 1 je suis à un tiers donc je suis un tiers de cette distance là ça va être quelque chose comme ça et puis pour x égales - 2 je suis à 1/9 donc là ça va être vraiment très très proche de zéro c'est du mal à représenter ça ici puisque justement c'est difficile de trouver une échelle qui va permettre de représenter efficacement toutes les toutes ces valeurs là donc je pourrais aussi placé ce point là pour x égal moins trois je serai à 1,27 donc là je touche pratiquement zéro et puis pour x égal moins 4 je suis à 1 sur 81 encore plus petits voilà donc ma courbe en fait elle fait quelque chose comme ça voilà elles montrent très très rapidement elle monte très rapidement comme ça c'est pas très joli mais entre 1 c ça devrait être un peu plus lisse mais bon voilà l'idée c'est ça c'est que tu vois que plus les valeurs de x sont grandes plus les valeurs de les grecs sont grandes aussi mais c'est mais surtout ce qui est intéressant de remarquer c'est que la croissance est de plus en plus rapides on a vraiment là une pente qui va être de plus en plus verticale donc la croissance est de plus en plus rapide et quand on va vers des valeurs de x de plus en plus petit donc faire moins l'infini quand x temps vermont l'infini eh bien on se rapproche de zéro sans jamais atteindre 0 avec des valeurs de plus en plus petit donc ça ça explique bien pourquoi est ce qu'on parle de croissance exponentielle en fait c'est une croissance qui on peut le dire c'est une croissance qui explose littéralement puisque ça va de plus en plus vite s'agrandit de plus en plus rapidement évidemment il ya plein de fonctions exponentielles est un acte certaines qui pourrait même avoir une croissance encore plus rapide si je prends par exemple la fonction y égale x élevé à la puissance x celle ci va croître encore plus rapidement mais bon celle là celle qu'on vient de voir que rencontrent fréquemment et bien elle est déjà suffisante pour éclaircir cette notion de croissance exponentielle alors maintenant que c'est un petit peu plus clair en vrai on va voir un exemple justement d'applications en fin de de croissance exponentielle dans la vie courante et on va prendre l'exemple assez courant d'une chaîne de lettres on rencontre sur les réseaux sociaux c'est à dire que la première semaine en semaine 1 tu va envoyer une lettre à 10 personnes dix personnes et tu dis à ces dix personnes qu'il faut que chacune d'elles envoie cette lettre à 10 personnes ce qui veut dire que en supposant que tous vont le faire la semaine ça c'est la semaine 1 la semaine 2 la semaine 2 tu vas avoir dix personnes les dix personnes qui ont reçu la lettre pendant la séance de la semaine 1 chacune de ces personnes va envoyer cette lettre à 10 personnes donc en tout on va avoir dix fois dix lettres envoyées donc finalement alors je vais noter ici les lettres envoyées alors la première semaine j'ai dit qu'on avait dix la deuxième on vient de voir qu'il ya 10 x 10 10 x 10 7 à 17 10 au carré et c'était ça fait cent la semaine 3 la semaine 3 et bien chacune de ces 100 personnes qui ont reçu la lettre en semaine 2 et va envoyer la lettre à 10 personnes donc en tout je vais avoir 10 x 110 x sens c'est-à-dire 1010 puissance 3 c'est cet égard la 1000 je vais avoir mille lettres envoyées tu vois que ça va quand même très très vite en supposant que chacune des personnes effectivement envoie la lettre alors on peut du coup se demander combien de lettres vont être envoyés en semaine n par exemple si je prends une semaine n'importe laquelle n ici combien de lettres vont être envoyés pendant cette semaine là alors il faut que tu regardes un petit peu ce qui se passe ici en semaine 1 g 10 10 et 10 élevé à la puissance 1 en semaine 2 g10 élevé à la puissance 2 c'est-à-dire sans l'être en semaine 3 g 10 élevé à la puissance 3 c'est à dire mille lettres alors je pense que tu as compris le motif en semaine n on va avoir dix élevé à la puissance n lettre envoyée puisque ici on a ce n est qu on doit retrouver ici en exposant 10 élevé à la puissance n alors une application particulière de ça c'est par exemple essayer de trouver de calculer combien de lettres vont être envoyés au cours de la semaine 6 la semaine si c'est bien on va remplacer n par six on va avoir dix puissance six lettres envoyées les dix puissants si c'est 1 million un million de lettres un million voilà donc tu vois que c'est quand même assez vertigineux comme comme croissance on part d'une première semaine où on a envoyé 10 lettres dix personnes et en semaine 6 c'est un million de lettres qui sont envoyées donc c'est très très rapide bon évidemment c'est pas ce qui se passe dans la réalité parce qu'en général la plupart des gens ne vont pas jouer le jeu et ne vont pas envoyer la lettre ils vont plutôt la jeter à la poubelle directement sans même regarder donc on aura passé un million de lettres envoyées mais si tu avais vraiment réussi à suffisamment convaincre légende tous envoyé cette lettre à 10 personnes et bien effectivement en semaine 6 tuerait un million de lettres qui aurait été envoyée donc tu vois que très très rapidement tu tu arriverais a envoyé sa lettre à pratiquement toute la population mondiale voilà on va s'arrêter là à bientôt pour la prochaine vidéo