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Interpréter un modèle exponentiel - variable temps

Les fonctions exponentielles

Transcription de la vidéo

alors j'ai encore pris un autre exercice de la plate forme de la khan academy on va le faire ensemble sous l'effet d'un antibiotique le nombre de bactéries dans une boîte de pétri diminue de façon spectaculaire le nombre n de bactéries dans la boîte de pétri au bout de tes seconde est modélisé par la fonction définie par and they égale mille fois 1/2 élevé la puissance t sur 5,5 donc c'est une fonction exponentielle de valeur initiale mille de base 1,2 me est ce qu'on nous dit c'est que la variable tu es ici elle est donnée en seconde donc ce petit est ici c'est un nombre de secondes on nous demande de compléter cette phrase le nombre de bactéries diminue de moitié toutes les un certain nombre de secondes qu'il faut déterminer alors je vais faire un tableau de valeur comme d'habitude ici la variable tu es ici le nombre de bactéries dans la boîte de pétri à l'adapter alors pour tes égal à zéro eh bien on va avoir la valeur initiale donc le nombre initial de bactéries au départ et excès 1000 x 1/2 élevé à la puissance 0 sur 5 5 0 sur 5 points 5 ça fait zéro donc finalement un demi est élevé à la puissance 0 donc ça fait 1 n 2 0 c'est 1000 tout simplement et c'est normal puisque c'est la valeur initiale ce qu'on nous demande ici c'est quand est ce que le nombre de bactéries diminue de moitié au bout de combien de secondes il aura diminué de moitié donc il faut qu'on trouve à quelle date t on va avoir la moitié 2000 bactéries c'est à dire 1000 x 1,2 me ça c'est pour une certaine d'at t et si on compare avec cette expression là on voit qu'il faut que l'exposant t sur 5,5 soit égale ici à 1 puisque mille fois un demi c'est mille fois 1/2 élevé à la puissance 1 donc il faut que cet exposant relaté sur 5,5 qui a souhaité gallard donc tu es sûr 5.5 doit être égal à 1 et ça ça veut dire évidemment que tu es est égal à 5,5 donc si je considère a ici une période écoulée de 5,5 secondes eh bien je vais avoir effectivement ce nombre de bactéries mme la moitié 2000 maintenant si je considère deux fois cette période de cinq 5 2 x 5 5 ça fait 11 donc si je considère l'adapter égale à 11 secondes eh bien on va avoir mille fois 1/2 élevé à la puissance deux fois 5 points 5 sur 5 5 c'est à dire de puissance 2 et donc si on laisse encore écoulé une période de cinq 5 secondes le nombre de bactéries aura été multipliée par un demi donc il aurait été diminuée de moitié voilà donc ce qu'on vient de voir ici c'est que le nombre de bactéries diminue de moitié toutes les 5 5 secondes alors on va faire un autre exercice de ce genre là du même genre nicolas observe l'augmentation au cours des années du nombre de branches de l'arbre de son jardin nombre n 2 branches des années après le début de son observation ici tu es est en année 1 ce nombre est modélisé par la fonction définie par haine de tai chi est ici donc c'est une fonction exponentielle aussi de base 9 5e et on nous demande de compléter cette phrase le nombre de branches augmente des 4/5 tous les un certain nombre d'années donc il faut qu'on détermine combien de temps il faut laisser dans quelle période de temps le nombre de branches va augmenter des 4/5 alors augmenté des 4/5 s'il faut faire attention ça veut pas dire qu'on va avoir + 4/5 une proportion donc il va y avoir quatre cinquièmes de branches en plus alors je vais faire un tableau de valeur comme toujours ici la variable t es là le nombre de branches à la date t donc à l'adapt égal à zéro g 38 x 9 5e élevé la puissance 0 sur 7 3 0 sur 7 3 ça fait zéro donc finalement gn 2 0 qui est égale à 38 x 9 5e élevé à la puissance 0 c'est à dire finalement 38 nombre de branches initial ses 38 c'est cette valeur là alors maintenant on nous demande quand est-ce que le nombre de branches à augmenter des 4/5 augmenté des quatre cinquièmes alors ce que je disais tout à l'heure c'est que si quelque chose augmente des quatre cinquièmes et bien si j'ai un certain nombre x de branche au départ bout de cette période que je vais chercher à déterminer je vais avoir + 4/5 de ce nombre de branches donc + 4/5 de x là je vais factoriser x et donc j obtiens x factor 2 1 + 4/5 ce qui veut dire que le nombre de branches a été multiplié par 1 + 4/5 un + 4/5 ça fait 9 5e et on retrouve la base de l'expo n'en ciel qui est ici 9 5e donc ce qu'on cherche c'est au bout de quelques périodes de temps le nombre de branches aura augmenté des 4/5 c'est à dire quand est ce qu'il aura été multiplié par 9 5e donc ce que je cherche finalement c'est à quelle date je vais avoir 38 x 9 5e de branches puisque là ça va me donner une période de temps dans l'eau cours de laquelle le nombre de branches aura été multiplié par 9 5e c'est à dire augmenter des 4/5 alors 9/5 ses 9 5e élevé à la puissance 1 donc si on compare cette expression à celle ci pour déterminer la valeur de t il faut que cet exposant relaté sur 7,3 t sur 7,3 soit égale à sept exposants lac et y est un donc on doit avoir tes sur 7,3 égal à 1 ce qui veut dire que tu es est égal à 7,3 au cours de cette première période de 7,3 en le nombre de branches de l'arbre a été multipliée effectivement par 9 5e maintenant si je prends une deuxième période de 7,3 en donc si je vais à la date 2 x 7 3 c'est-à-dire 14 six ans après le début de l'étude eh bien je vais avoir 38 x 9 5e élevé à la puissance deux fois 7 3 sur 7 3 c'est-à-dire de 9 5e au carré et tu vois que là encore au cours de cette deuxième période de 7,3 en est bien le nombre de branches a été multiplié par 9 5e finalement on peut compléter cette phrase le nombre de branches augmente des 4/5 tous les 7,3 sens un sens c'est de bien faire le rapport comme tout à l'heure entre ceux cette réponse là et l'exposant qui est ici donc cette partie là en particulier de l'exposant puisqu'en fait la l'exposant compte le nombre de périodes de 7,3 en est cette période là c'est effectivement celle qui correspond à x la base de l'expo n'en ciel alors on en fait un dernier pour être sûr d'avoir bien compris line steinen 253 est un élément chimique radioactifs dont la masse diminue de façon naturelle au cours du temps lors d'une première pesée un échantillon d'einstein yom 253 avait une masse de 540 g la relation entre le nombre et2 mois donc on m'a des moins ici qui sépare deux peser d'un échantillon et sa masse n en g est modélisé par la fonction définie par m2t égale 540 x 1 8e élevé à la puissance t sur 2,05 donc là encore on a une fonction exponentielle et on nous demande de compléter cette phrase la masse de l'échantillon perd cette huitième de sa valeur tous les un certain nombre de mois donc on nous demande encore une fois de déterminer la période ici un nombre de mois au cours de laquelle l'échantillon perd 7 8e de sa masse alors comme tout à l'heure il faut bien comprendre cette partie là quand on dit que quelque chose père cette huitième de sa valeur perdre cette huitième c'est une proportion ça veut dire que si on a au départ une certaine masse x au bout de cette période qu'ont cherché à déterminer bien on aura perdu cette huitième de cette valeur cette huitième de cette masse donc la masse au bout de cette période là ça sera x - cette huitième et si je factories x et bien j'aurai un -7 8e et 1 - 7/8 ça fait 1 8e donc finalement au bout de cette période la xr a été multiplié par ce 1 8e alors là aussi on reconnaît ici c'est un huitième c'est la base de ma fonction exponentielle et donc comme on disait tout à l'heure cet exposant ladd a compté le nombre de période écoulée pour avoir une multiplication par un sur huit est donc la réponse à notre question c'est celle ci la période ses 2,05 mois la masse de l'échantillon perd cette huitième de sa valeur tous les 2 0 cinq mois