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Les fonctions exponentielles

Transcription de la vidéo

on a une particule dont la position varier en fonction du temps et sa position peut être exprimé par cette fonction paie en fonction du temps donc paix de tête égal à moins d à la puissance - tu es plus c'est puissance 4 / c o car est plus sain ou c et d sont de nombreux plus grand que 1 et on te pose trois questions qui en gros porte sur l'étude complète de p2 t on quelle est la position initiale dans quel sens varie cette fonction est ce qu'on a une position qui augmente ou qui diminue et préciser les extrêmes de cette fonction entre quelle valeur varie cette fonction très bien donc prenons les questions une parure on va d'abord répondre à la question 1 trouve ep20 trouver p20 qui est égal à moins d à la puissance 0 plus c'est puissance 4 le tout / c o car est plus un alors moins des puissants héros des puissants 0 ça c'est égal à 1 et donc en fait on obtient p20 est égal à ces puissances 4 - 1 / c o car est plus un et là on reconnaît la différence entre deux carrés ici on a le carré de ces au carré et là on a le carré de 1 donc on va appliquer l'identité remarquables ou à carré - becquart est égal à a + b x - bella on assez carré + 1 x c'est carré - 1 / c'est au carré +1 et la laisser au carré plus un ça nul et on obtient p20 est égal à ces au carré - 1 très bien ça c'est la réponse à la première question maintenant deuxième question quel est le sens de variation de cette fonction pour étudier cela je vais tenter de faire un croquis de cette fonction paie de thé je vais y aller étape par étape je vais avoir un axe vertical que je vais appeler la xd y est l'acce horizontale donc celle axes du temps et je vais d'abord représenter des puissances t&d puissance t ça donne ça du côté positif et si le temps négatifs exister ce qui n'est pas le cas on aurait ça à gauche de lax verticale donc ça c'est y est égal à des puissances t comment à partir de cette courbe j'obtiens y il ya le des puissances - t eh ben je dois prendre le symétrique par rapport à l'axé vertical ça on a appris ça sur les commandes à étudier les transformations de fonction et donc des puissances - t elle va ressembler à ça du côté positif ici cette branche là c'est le symétrique de cette branche là par rapport à l' axe vertical ici on a y est égal à des puissances - tu es maintenant à partir de cette fonction-là des puissances - tu es comment est ce que j'obtiens - des puissances - car c'est plutôt ça qui m'intéresse et bien c'est le symétrique de cette courbe par rapport à l'axé horizontal donc par rapport à laax du temps et qu'est ce que j'obtiens voilà la courbe que j'obtiens pour y est égal à moins dé puissance - tu es très bien donc maintenant pour avancer à partir cette courbe et pour aboutir à p 2 t et bien il faut que j'ajoute c'est puissance 4 donc ce sera une translation vers le haut de ces puissances 4 et que je divise par ces au carré +1 donc et un rétrécissement verticale par un facteur c'est carré plus sain et je sais d'avancé que une translation vers le haut et un rétrécissement par un certain facteur eh bien ça ne va rien changer au sens de variation de la fonction donc je suis prêt à répondre à cette question là quel est le sens de base de variations de la fonction la réponse à la question 2 c'est que paie de thé est strictement croissante je viens d'expliquer pourquoi paix de thé et moins dé à la puissance - t on le même sens de variations et vu que moins d à la puissance - thé est strictement croissante et l'impé de thé est aussi strictement croissante on te demande de préciser maintenant les extrêmes homme de cette fonction et bien la réponse est assez évidente pour ce qui est du minimum en fait la fonction commence par un minimum donc je sais que ma fonction va commencer assez carré - ans elle va être plus plate que - des puissances - thé car j'aurais apprécié par un facteur de ces cars est plus un donc elle va ressembler à quelque chose comme ça et lorsque tu es ton vers l'infini elle va avoir un comportement asymptotique cette fonction qui est caractéristique des fonctions exponentielles et cette atteinte asymptote ou escalader et ben justement ça c'est une des caractéristiques de la fonction qu'on aimerait découvrir également même si on ne le demande pas explicitement mais vu qu'on nous demande de préciser les extreme je pense que c'est le moins qu'on puisse faire donc on a une fonction qui commença c'est carrément un qui est strictement croissante et qui aura un comportement asymptotique lorsque tu es tend vers l'infini lorsque tu es tend vers l'infini alors limite de thé tend vers l'infini de paix à la puissance t ça donne quoi eh bien lorsque tu es dans vers l'infini des à la puissance - t&d à la puissance - tc cette fonction vertes et des puissances - t elle tend vers zéro ça on le voit très bien ici donc là on va avoir zéro et tout ce qui va nous rester ce sont ces constantes là c'est puissance 4 / c'est carré +1 donc on sait que cette fonction elle va tendre vers cette valeur là on va avoir une asymptote d'équations y est égal à ces puissances 4 / c o car est plus sain et voilà on va en gros dit tout ce qu'il ya d'intéressant à proposer de cette fonction sa valeur de départ son sens de variations qui est strictement croissant et là 70 vers laquelle elle temps qui est la droite d'équations y est égal à ces puissances 4 sur ces carrés plus sain