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Les fonctions logarithmes

Transcription de la vidéo

bonjour alors jusqu'à maintenant quand on a travaillé avec les logarithmes en fait on a uniquement énoncer des propriétés travailler avec vu qu'elles étaient vraies dans des cas particuliers mais on les a pas encore démontré donc il faut quand même qu'on arrive à le faire à un moment donné alors dans cette vidéo c'est ce qu'on va faire on va essayer de démontrer cette première propriété là qui donne le logarithme d'un produit à b voilà alors dans le cas général je te rappelle que quand on parle du logarithme embase x par exemple un certain nombre x d'un nombre à et bien ça en fait c'est un nombre réel qui est par exemple n qu'antenne je l'appelle comme ça en fait ce que veut dire cette relation que je viens d'écrire c'est que si on prend le nom breux hic c'est qu'on l'élève à la puissance n eh bien on va obtenir le nombre a donc ça c'est une manière équivalente de dire que x élevé à la puissance grand peine et bien c'est grand art alors ça c'est très important de garder ça en tête cette expression là ici logarithme embase x2 à et bien c'est en fait rien d'autre que cet exposant qui est ici x élevé à la puissance n est égal à 1 alors si tu veux on peut même le clarifier un petit peu plus en écrivant ça comme ça je vais ça va être une relation importante à comprendre et dont il faudra se souvenir c'est que ici en fait je peux remplacer grand peine par cette expression là et donc je vais avoir x élevé à la puissance logarithme embase x2 à et bien ça c'est égal à à voile à l'important c'est de comprendre que quand on parle de logarithmes en fait on ne parle de rien d'autre que d'exposants de puissance alors on va essayer de démontrer cette propriété l'abbé logarithme en se rappelant de cette définition là alors pour l'instant ce que je vais faire c'est que je vais prendre un nombre x réel et je vais les veuves et à une certaine puissance disons elle est donc saïx élevé à la puissance elle bien ça donne un autre nombre que je vais appeler à petit a voilà et puis je peux aussi reprendre ce nombre x l'élever à une autre puissance disons haine et ça me donne un autre nombre petit b alors d'après ce qu'on vient de dire tout à l'heure d'après la définition qu'on a donnée de logarithmes en fait cette première relation là xlv à la puissance est légale a on peut rires aussi de cette manière là en disant que le logarithme embase x de petits tas et bien c'est elle voilà ça c'est exactement la même chose rappelle toi ce qu'on a dit tout à l'heure elle veut dire que la puissance à laquelle il faut élever x pour obtenir bebien cn donc ça veut dire que le logarithme embase x2 petit b et bien c'est elle alors maintenant je peux aussi évidemment prendre le nom breux x et l'élever à une autre puissance que je vais appeler dix ans m voilà je l'élève à une puissance n alors attention une chose qu'il faut préciser absolument très souvent on a l'habitude de travailler avec des exposants qui sont des nombres entiers ici elle est née m ne sont pas forcément des nombres entiers ça peut être n'importe quel nombre réel c'est très important de comprendre ça on ne parle pas uniquement d'exposants entier donc je vais prendre ce nombre x l'élève à une puissance n qui est tel que quand je fais x élevé à la puissance n est bien j'obtiens le produit à x b alors cette relation là je peux l'écrire comme ça le logarithme embase x 2 ab du produit a bel et bien ces petites m voilà alors maintenant cette relation ici celle là là je peux je vais pouvoir l'écrire différemment en fonction de x puisque je sais que ce a ici et bien c'est x puissance elle est ce b ici cx puissance n donc je vais pouvoir réécrire ça comme ça x puissance m c'est égal à a alors à ses x puissance elle xlv à la puissance elle multiplier ensuite par becky et x élevé à la puissance n x élevé à la puissance m hélas ici on a quelque chose qu'on connaît bien un produit de deux puissances de même base donc on sait que ça ça fait x élevé à la puissance elle plus n voilà alors quand on regarde maintenant sept cette relation-là xlv la puissance m est égal à xlv à la puissance elle plus saines et bien ça on peut en déduire quelque chose d'important c'est que les exposants cette exposera est égal à cette somme larmes en d'autres termes on peut dire que n je gardais les couleurs m est égal à elle plus n ça c'est une relation importante pour nous et qui vient uniquement des propriétés des puissances alors maintenant on va juste se souvenir que ce petit mi6 ce petit elle est ce petit n on peut les écrire en fonction des logarithme puisque on a tout ici hein on a fait ça ici petit thème ici je peux l'écrire comme le logarithme embase x logarithme embase x du produit ab ça c'est par définition est ce qu on a donné tout à l'heure et puis le petit elle ici je peux dire que c'est le logarithme en basics logarithme embase 6,2 à de petits tas est donc ici j'ai plus ce petit end là et ce petit elle l'a en fait c'est le logarithme embase x2 b plus le logarithme en bas 6 2 b et là ça y est on a terminée puisqu'on retrouve exactement la propriété qu'on voulait démontrer là-haut logarithme en basics du produit ab est égal au logarithme en basics de a+ logarithme en basics de b voilà