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Démonstration d'un cas particulier de la règle de l'Hospital

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va étudier un cas particulier de la règle de l'hôpital car contrairement à la version général de cette drague les mains le cas particulier est très facile à démontrer et il al'avantage de te donner une dans l'intuition de pourquoi elle marche ça drague de l'hôpital alors imaginons que comme d'habitude on a affaire à une limite lorsque x tend vers un certains nombres du quotient de deux fonctions de f2 x / g2x et là on est confronté à la difficulté que cette limite est indéterminée et là on va faire quelques suppositions sur f2 x et g2x qui ne sont pas le cas de la version général mais qui vont être le cas de ce cas particulier d'abord on va dire que f2 à et g2a existe tous les deux et on va se placer dans le cas particulier où ils sont tous les deux égaux à zéro et donc c'est pour ça qu'on obtient une limite indéterminée d'ailleurs parce qu'on obtient un quotient de de quelque chose qui est égal à 0 2 qui tend vers zéro / quelque chose d'autre qui tend vers zéro lorsque x temps vers à l'autre suppositions qu'on va faire c'est que f prime de a et g prime de à existe tous les deux et ça ce n'est pas forcément le cas dans la version général de la règle de l'hôpital qui je le rappelle nous dit que cette limite est égal à limites lorsque x temps vers hm2f primes de x / g primes de x donc dans la version général il suffit que cette limite existe ce qui ne veut pas dire tout à fait que f prime de asg prime de à existe un ça ne veut pas dire cela forcément mais là on ne va pas tenter de démontrer cette égalité là et on va démontrer quelque chose de largement plus simple à prouver qui est que cette limite est égal à f prime de a / g prime de à dans ce cas particulier où bat f prime de lg prime doit existe et où on à f2 a et g de la qui sont égaux à zéro et quelle stratégie est ce que je vais adopter pour démontrer cette égalité entre primes de assure geprim doha et cette limite eh bien je vais réexprimer affrime deux insurgés prime de a autrement en utilisant la définition des fonctions dérivés et à la fin j'espère tomber sur cette expression là alors allons-y f prime de assez égal à quoi eh bien c'est égal à la limite lorsque x temps vera de f2 x - f2 a / x - za et d'où est ce que je sors ça donc là tu reconnais la formule d'une différence d ordonner / une différence des abscisses donc on a bien l'idée ici delà d'un coefficient directeur et il s'agit bien de la du coefficient directeur d' une tangente évalué entre x égal à est un autre point d'apsys x qui ont pour différences désordonnée f 2 x - f2 à 1 à la différence des abscisses c'est bien x - a et le fait que x temps tu verras et d'un ça veut dire que je rapproche je rapproche de plus en plus ce x 2 à jusqu'à tomber effectivement sur la tangente et donc ce calcul correspond bien aux coefficients directeur de la tangente limites quand x temps vera de la différence désordonnée / la différence des abscisses très bien donc on a compris que cette limite correspond bien à l'expression de de la dérive et en a de la fonction af est donc de même en bas on a limites quand x d'anvers à 2 g2x - g2a / x - a et là je vais appliquer une simplification assez majeur lorsque j'ai connu mes rateur une limite lorsque x temps vera est le dénominateur une autre limite quand x temps vers ce même à et bien je peux regrouper tout ça dans une même limite ou x temps verra donc ça déjà ça me permet de largement simplifié mon expression car maintenant je peut m'intéresser à ce qui se passe à l'intérieur de ma limite et là tu vois qu'il y à des simplifications qui vont se r au numérateur et le dénominateur j'ai une fraction et dans chacune de ces fractions gx - à au dénominateur donc si je multiplie en haut et en bas par x - za et ben je me débarrasse de ses x - za très bien et autre simplification je te rappelle que f2 à - est égal à g2a et ils sont tous les deux égaux à zéro et donc ici je peux me débarrasser de f2 à et de g2a c'est justement une des caractéristiques de notre cas particulier qui a fait que ce fût aussi simple de démontrer que la limite quand x temps vers hm2f 2 x / g2x que j'ai obtenus en effectuant toutes ces simplifications et bien que cette limite est bien égale af prime de assure geprim 2a en se plaçant dans le cas particulier ou f2 à et g2a sont tous les deux égaux à zéro qui faisait que cette limite était indéterminée à la base et où elf prime de a et g prime de à existe tous les deux qui a fait qu'on a pu écrire ce quotient et pour conclure je te ferai remarquer que ce cas particulier de la règle de l'hôpital eh bien on l'a déjà utilisé avant et oui dans les vidéos précédentes où je t'ai montré quelques exemples à chaque fois on arrivé à l'étape finale où la dérivée de la fonction au numérateur et le dénominateur existait tous les deux pour la valeur vers laquelle x tendait et bien à la fin on a tout simplement écrit que la limite était égal au quotient de ces valeurs là là par contre on n'a pas démontré la règle de l'hôpital c'était pour toutes les étapes intermédiaires où on disait que la limite du quotient des deux fonctions était égal à la limite du quotient des fonctions dérivés et ça c'est quelque chose de plus compliqué à démontrer et qui dépasse très clairement les objectifs de cette vidéo