Dérivée d'une fonction réciproque

bonjour dans cette vidéo on va s'intéresser à la relation qui existe entre les dérivés de deux fonctions réciproque donc je te donne une fonction f dont l'expression est celle ci f 2 x et puis une autre fonction que j'appelle g et dont l'expression est g2x qui est la réciproque qui est la réciproque de f voilà donc c'est la réciproque de la fonction f donc avec les notations habituel g2x en fait c'est f - 1 2x est ici il faut bien faire attention ce - 1 indique la réciproque de la fonction f c'est pal inverse de la fonction et femmes donc g2x et pas un seul rêve de xc la fonction réciproque de fgx bon si tu es pas tout à fait au clair avec les fonctions réciproque s'engagent vraiment aller regarder les vidéos sur la khan academy on en a fait un certain nombre là dessus en tout cas si tu veux je peux te rappeler rapidement ce que ça veut dire en fait si tu pars de l'ensemble de définition de la fonction f par exemple tu prends un certain nombre dans cet ensemble de définition tu calcules son image par la fonction f donc ça ça t'amène dans l'ensemble image de la fonction f sur une certaine valeur qui est f 2 x ensuite si tu calcules l'image de cette fonction f par la fonction g et bien tu retombes sur le nombre x de départ voilà donc une autre manière de dire ça c'est que quand tu composes ces fonctions là dans un ordre ou dans l'autre donc là j'ai d'abord pris et j' ai ensuite f et bien f front g2x c'est la fonction identité et si tu fais la composition dans l'autre ordre j'ai roulé f 2 x c'est aussi la fonction identité donc géré on rêve de x est égal à x voilà donc ça c'est vraiment des révisions ses relais sur les fonctions réciproque maintenant on va se demander comment sont reliés les dérivés de ces deux fonctions la f et g donc comment la dérive et d'une fonction est liée à la dérive et de sa fonction réciproque alors pour ça en fait ce que je vais faire c'est partir d'une de ces deux relations donc celle là par exemple et je vais la ré écrire ici donc ce que ça me dit ici c'est que si je calcule f2 g2x je vais l'écrire avec les couleurs f2 g2x et bien ça c'est égal à x et maintenant ce que je peux faire ses dérivés les deux membres de cette relation les deux membres de cette égalité donc ce que je vais obtenir dans ce cas là c'est que la dérive et de cette fonction et feront g2x va être égal à la dérive et de la fonction iq ça assez facile à calculer c'est égal à 1 et pour calculer sa la dérive et de cette fonction et feront g2x f2 g2x si tu préfères bien je vais utiliser la règle de dérivation des fonctions composés qui me dit que cette dérive et la cg prime de x factor de f prime de gdx f prime de g2x et donc ça c'est égal un dérivé de x qui est égal à 1 voilà donc tu vois que la j'obtiens une relation assez assez simple entre la dérive et 2g et la dérive et de f donc cette relation je peux l'écrire comme ça cg primes de x nous dit que j'ai primes de x est égal à 1 / f prime de g2x voilà donc ça c'est intéressant parce que si tu fais des constatations si tu connais que certaines propriétés de la dérive et f prime eh bien tu peut en déduire aussi des propriétés sur la dérive et geprim voilà et si tu veux là pour terminer on peut voir que effectivement ça marche pour certaines fonctions si je prends comme fonction la fonction exponentielle donc fdx c'est eux élevés à la puissance x alors tu dois te rappeler que la fonction réciproque de la fonction exponentielle c'est la fonction logarithme donc ici g2x cf - la fonction réciproque de f et bien c'est logarithme naturel de x alors f primes de x ça c'est vraiment la propriété fondamentale de la fonction exponentielle c'est qu'elle coïncide avec sa dérive et donc aux primes de x cee puissance x et puis la dérivée de la fonction logarithme naturel c'est ici que j'ai appelé j'ai vers cette fonction dérivés geprim de xc 1 sur x alors maintenant on va vérifier que ça marche je vais calculé 1 / f prime de g 2 x 1 / f prime de g2x alors f prime de g2x g2x c'est logarithme naturel de xrf primes de x et e puissance x donc f prime de g2x cee puissance logarithme 2x donc ce que j'obtiens finalement c'est un sur deux puissances logarithme de x death qui doit tout de suite sauté aux yeux c'est que puissance logarithme 2x en fait c'est x1 donc ce que j'obtiens c1 sur x qui est bien effectivement égale âgées primes de x voilà donc tu vois que dans ce cas là qui est vraiment fondamental notre relation en marche et en fait elle marche pour toutes les fonctions f et g qui sont réciproques l'une de l'autre