Règle de L'Hospital - Savoirs et savoir-faire

La règle de L'Hospital permet de lever des indéterminations du type ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ ou ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍.

Autrement dit, elle permet de déterminer ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, si lorsque $x$‍ tend vers $c$‍, $u(x)$‍ ET $v(x)$‍ tendent vers $0$‍ ou vers $\pm \mathrm{\infty }$‍. $$‍

Selon cette règle, si la limite ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ existe, alors :

On veut déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}}$‍.

Lorsque $x$‍ tend vers $0$‍, le numérateur et le dénominateur de $f(x)={\displaystyle \frac{7x-\sin (x)}{x^2+\sin (3x)}}$‍ tendent vers $0$‍. On obtient la forme indéterminée ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. On va utiliser la règle de l’Hospital.

D'après ce calcul, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{[7x-\sin (x){]}^{\prime }}{[x^2+\sin (3x){]}^{\prime }}}=2}$‍, donc la limite de $f(x)$‍ quand $x$‍ tend vers $0$‍ est égale à $2$‍.

On doit déterminer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}}$‍. Lorsque $x$‍ tend vers $0$‍, on obtient la forme indéterminée $1^{{}^{+\mathrm{\infty }}}$‍.

Au lieu d'étudier directement la limite de l'expression donnée, on étudie celle de son logarithme népérien. Autrement dit si $y=(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\sin (x)}}}$‍, on va d'abord calculer ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)}$‍. et on en déduira ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y}$‍

$\ln (y)={\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍

Lorsque $x$‍ tend vers $0$‍, le numérateur et le dénominateur de ${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\sin (x)}}$‍ tendent vers $0$‍. On obtient la forme indéterminée ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. Pour lever cette indétermination, on utilise la règle de L’Hospital.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)=2}$‍, donc ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=e^2}$‍.