Primitive de sin^2(x) cos^3(x)

bonjour ici on nous demande de trouver une primitive de la fonction sinus carré de x x caussinus x élevé à la puissance 3 alors comme d'habitude mais la vidéo sur pause essaye de voir ce que tu arrives à faire de ton côté et puis on se retrouve c'est pas évident quand même parce que bon si on avait ici insinue 6 on pourrait le relier à la dérive et de cosinus x enfin on pourrait dire que c'est moins la dérive et de cosinus x et peut-être qu'on arriverait à utiliser la règle de dérivation des fonctions composé à l'envers c'est à dire en fait à reconnaître que ici on a quelque chose de la formule primes de x x v prime de u2 x voilà on y arriverait peut-être mais là c'est pas exactement ce qui se passe puisque on insinue ce carré de x donc il va falloir qu'on trouve un autre système alors dans ce cas là il ya une technique qui est assez utile à garder en tête c'est que déjà on peut regarder s'il ya un des deux facteurs ou notre nos fonctions trigonométriques apparaissent avec un exposant un père alors ici c'est le cas ici on a caussinus x qui avait la puissance 3 qui est un nombre impair et dans ce cas là si tu as un des exposants qui est un père tu peux utiliser le théorème de pythagore vue de façon trigonométriques c'est à dire la relation qui existe entre le sinus carré de x et le cosinus carré de x alors là je te le dis un petit peu vide c'est pas forcément près clair donc ce que je vais faire c'est réécrire ma fonction c'est sinus carré de x x caussinus x élevé à la puissance 3 et ça en fait je vais leur écrire comme ça c'est si luce carré 2 x x caussinus x multiplier encore une fois donc ça c'est des multiplications par caussinus carré 2 x là j'ai uniquement des composés caussinus x à la puissance 3 comme ceux ci c'est caussinus x x caussinus carré de x alors maintenant je peux aller un petit peu plus loin en fait bon j'ai sinus carré de x sinus carré de x x caussinus x ça je ne vais rien changer et puis par contre ce terme là caussinus carré de x eh bien je sais que c'est un moins sinus carré de x donc ça c'est la relation trigonométriques très importante de raismes de pythagore c'est que le cosinus carré 2x plus le sinus carré 2x est toujours égale à 1 pour toutes les valeurs de x alors pour l'instant ça te paraît peut-être être une voix un peu hasardeuse parce qu'on est en train de décrire cette fonction là d'une manière beaucoup plus compliqué mais tu vas voir que on va s'en sortir quand même de cette manière là alors je vais faire un peu de ménage là-dedans alors j'ai déjà je vais leur écrire tout comme ça c'est caussinus x x alors je vais avoir ici sinus carré de x x 1 donc ça ça me donne sinus carré de x - sinus carré de x x sinus carré de x c'est-à-dire moins cygnus x à la puissance 4 voilà alors ici on aurait pu re développer et avoir du coup une différence de deux fonctions seraient donc amené à chercher une primitive de chacun des termes de notre différence bon ça serait très faisable mais là je vais le faire d'un seul coup en fait puisque ici ce que je peux faire c'est identifier ce terme là à celui ci qui est là donc en fait je vais dire que ça cv preen cygnus x cv prime de cygnus x a donc si tu veux je peux les réécrire comme ça ce que j'essaie sinus de x élevée au carré - sinus de x élevé à la puissance 4 donc ça c'est la fonction v prime de cygnus x donc des primes de x si je définirais de cette manière là c'est qu'en fait v primes de x cx au carré - x puissance 4 et puis évidemment du coup je vais définir la fonction eu de xcom sinus x1 donc évidemment dans ce cas là une prime de x et bien c'est caussinus x donc avec ça ici j'ai eu primes de x qui est ce terme-là dans cette expression et puis ici gvt est prime 2 u2 x v prime de u2 x et donc je suis exactement dans cette situation là donc une primitive de la fonction qu'on nous donnait sinus 2 2 cette fonction-là sinus carey de x x caussinus 2x élevé à la puissance 3 eh bien c'est la fonction v de u2 x v de u2 x alors maintenant il faut qu'on explicite sa est en fait nous reste plus qu'une chose à faire c'est trouver une expression de la fonction v on sait que des primes de x et x au carré - x puissance 4 donc v2x qui est une primitive de la fonction v prime c'est une primitive 2x au carré ça c'est x 3 sur 3 - une primitif de la fonction x puissance 4 qui est x puissance 5 sur 5 donc v2x c'est ça et finalement l'expression de notre primitive ses sinus x puissance 3 sur trois - cygnus x à la puissance 5 sur cinq plus évidemment une constante voilà ça c'est le résultat je vais l'encadrer c'est tout ça ce qui nous a sauvés on peut dire c'est l'utilisation de cette relation trigonométriques vraiment extrêmement importante