Changement de variable avec une fonction trigonométrique

bonjour dans cette vidéo on va essayer de calculer cette intégrale indéfini l'intégrale de 1 sur racine carrée de quatre musiques socar et dx donc si tu est pas familier avec cette notation l'a en fait ça revient à trouver une primitive de la fonction qui est la 1 sur racine carrée de quatre musiques socar et donc mais la vidéo sur pause pour essayer de le faire de ton côté je te donne quand même une petite indication pense au triangle rectangle et puis pense aussi à faire un changement de variables donc on va le faire ensemble maintenant alors quand je te disais de penser au triangle rectangle c'est parce que ici l'expression qui au dénominateur racine carrée de 4 - 6 au carré eh bien ça ressemble étrangement au calcul qu'on fait lorsqu'on calcule une longueur dans un triangle rectangle et même là on peut dire que ce sera une longueur qui n'est pas l'hypoténuse du triangle rectangle alors rassure toi si tu n'as pas ce réflexe là si tu n'as pas vu ça et bien c'est pas grave du tout c'est même assez normal moi aussi la première fois que j'ai rencontré ça j'ai pas du tout eu ce réflexe là mais bon je vais te montrer un petit peu à quoi ça sert donc je vais faire un triangle rectangle voilà et puis ce que je disais tout à l'heure c'est que dans cette expression là le nombre 4 en fait c'est le carré de l'hypoténuse donc je vais prendre un triangle rectangle dont l'hypothénuse ici c'est 2-2 au carré ça fait 4 et je vais retrouver ce 4 qui est là ensuite le x ça pourrait être ce côté là où ce côté là je vais prendre ce côté ici ça c'est le côté x de longueur x et donc le côté restants c'est un triangle rectangle je n'ai pas mis le codage mais c'est un angle droit ici donc tu peux calculer la longueur de ce côté là avec le théorème de pythagore et ce côté là il aura pour longueur racine carré de l'hypoténuse au carré donc dos carré ça fait 4 - ce côté-là élevée au carré donc moins x au carré et tu vois que l'on retrouve effectivement l'expression qui est ici au dénominateur de ma fonction donc ça c'est assez intéressant alors maintenant on va penser à la deuxième indication que des données qui était de faire un changement de variables et en fait ici il faut penser à la trigonométrie donc je vais appeler teta cet angle là et donc ce que je sais c'est que le sinus de l'angle teta et bien c'est le côté opposé sur l'hypothénuse donc ici c'est x sur deux ça c'est une première chose donc on peut en déduire que x ces deux fois sinus d'état voilà mais tu vois que là j'ai finalement exprimé mon x en fonction de tes tu as donc ce que j'ai en fait c'est ici c'est une fonction de tes tu as un x2 teta ces deux fois sinus l'état et puis de la même manière je peux aussi dire que le cosinus de l'angle teta et bien c'est le côté adjacent donc ce côté-ci / l'hypothénuse donc ça ça me donne caussinus teta égal alors racine carrée de 4 - 6 au carré qui est le la longueur du côté adjacent / l'hypoténuse qui est égal à 2 donc ça c'est assez intéressant aussi parce que ça veut dire que finalement racine carrée de 4 - x au carré eh bien ces deux fois caussinus teta alors finalement mon intégral ici je peux l'art écrire comme ça c'est un sur racine carrée de quatre musiques socar est que je vais écrire comme ça ces deux caussinus teta 2 caussinus d'état et puis il y a le dx qui est là et c'est ça qui va tout changer puisque effectivement maintenant x je dois le considérer ce que j'ai dit comme une fonction de tes tu as donc finalement ce que je peux dire c'est que la dérive et exprime de teta et bien je vais pouvoir l'a calculé en fonction de tes tas et ça ça s'écrit en fait comme ça c'est la dérive et 2x par rapport à tes tas et un peu la calculer cette dérive et 2x par rapport à l'état c'est deux fois la dérive et de sinus teta par rapport à l'état donc ces deux fois caussinus d'état alors ça c'est intéressant et c'est quelque chose dont il faut se rappeler situé pas très au fait là-dessus va regarder d'autres vidéos sur la khan academy en fait cette relation la dx sur des têtards égale deux fois caussinus l'état on peut l'écrire comme ça c'est des x qui est égale à deux fois caussinus teta dt tu as ça en fait ça vient de la règle de dérivation des fonctions composer je vais pas rentrer dans les détails ici mais en tout cas ce qui est intéressant c'est que ça nous permet de remplacer ceux des x dans lequel ne figure pas la variable teta par cette expression là dans laquelle on trouve la variable teta donc maintenant je vais écrire ça comme ça il faut que je multiplie par bx mais le dx je vais l'écrire de cette manière là c'est de cosinus d'état des états et donc tu vois que notre intégral indéfinie on peut la réécrire comme ça c'est 2 caussinus d'état sur 2 caussinus d'état des états voilà là on a changé notre variable et tu vois que du coup on obtient une expression bien plus simple puisque ici de cosinus têtards / 2 caussinus teta ça fait 1 donc ce qu'on doit calculer finalement c'est l'intégrale indéfinie de une fois d'été tu as donc de dt tas et cette intégrale là il faut la penser avec notre variable qui est état ici donc une primitif 2 1 alors que d'état est la variable et bien cet état plus une constante voilà là on est vraiment presque au bout de nos peines mais on a quand même pas tout à fait terminée puisque ici on a une réponse qui est une fonction de la variable teta alors qu'évidemment on doit trouver une réponse en fonction de la variable x donc ça c'est assez simple finalement on va utiliser cette relation-là sinus d'état et gallix sur deux cette relation là eh bien elle nous dit que finalement si l'ust est assez x sur deux donc tu es tu as finalement c'est la fonction inverse de la fonction sinus 2x sur deux ce qu'on peut écrire comme ça ses sinus - 1 2 x sur deux ou bien encore on peut écrire ça comme ça c'est la fonction arc sinus 2 x sur deux donc ça ça va nous permettre d'exprimer notre réponse en fonction de x et finalement ce qu'on obtient c'est que cette intégrale la con cherché à calculer eh bien ces arcs sinus 2 x sur deux plus une constante voilà je vais encadrer ce résultat qui est le résultat final alors c'est bien on a fait pas mal de calcul pas mal de substitution on est arrivé à une expression qui est tout à fait plausible cependant il faut quand même faire attention quand on fait des changements de variables à regarder si on n'a pas fait de restrictions sur le domaine de définition de notre fonction donc à ce moment là ça serait un peu problématique donc il faut qu'on vérifie un petit peu tout ça alors on va le faire ici à une première question c'est quel était le domaine de définition de cette fonction là eh bien il faut bien sûr que le dénominateur soit différente 0 et aussi comme on a une racine carrée il faut que 4 - 6 au carré soit positif et ce à quatre - x au carré il faut donc que ce soit strictement positive pour pas que ce soit nul et bien ça c'est vrai si et seulement si x est plus petit strictement plus petit que deux est strictement plus grand que deux puisque ici 6 x est égal à moins 2 ou à 2 cette expression là va être égal à 0 et 6 x n'est pas compris dans cet intervalle là et bien là l'expression qui est ici sera négative ça je t'invite elles vérifiées par exemple en factories ans ici en faisant un tableau de signes voilà donc notre domaine de définition ici c'est cet intervalle à moins de 2 et nous ce qu'on a fait c'est le changement de variables x égale deux fois sinus teta donc notre domaine de définition je vais m'exprimer comme ça en fonction de tes tas il faut que moins deux fois plus grand que de sinus l'état strictement plus grand et que deux sinus d'état soient strictement plus petit que deux alors là je peut diviser par deux les trois membres de cette inégalité et j'obtiens que sinus l'état doit être strictement plus grand que -1 et strictement plus petit que 1 voilà alors bien évidemment sinus l'état est toujours compris entre -1 et à mais attention dans le cas général ce sont des inégalités large ici on ne veut pas que ce soit égal à -1 nous a un et ça ça sera vrai cité-etat je vais l'écrire ici tu état doit être plus petit que pi sur deux est plus grand qu'eux - pis sur deux dans ce cas là effectivement sinus d'état sera strictement plus grand que -1 strictement plus petit que 1 donc la conclusion ici c'est que notre domaine de définition de la fonction qui nous est donné et bien quand on l'exprimé en fonction des tailles correspond à cet intervalle là et ça ça marche bien dans notre cas puisque cet intervalle la moins pis sur 2 pi sur deux et bien c'est typiquement le domaine de définition sur lequel on étudie la fonction arc sinus donc ça ça nous donne une assurance qu on n'a pas fait n'importe quoi sur le domaine de définition en faisant notre changement de variables il ya autre chose qu'il faudrait quand même vérifier c'est que ici quand on a fait notre changement de variables et bien il est apparu cette expression l'a2 caussinus d'état on divise par 2 caussinus d'état mais là et on peut faire ça uniquement si caussinus l'état n'est pas égal à zéro et dans notre cas ça marche puisque cité-etat y compris dans cet intervalle là et bien caussinus l'état ne peut pas être égal à zéro caussinus d'état se régale à 0 pour teta aygalades - pis sur deux ou pis sur deux ce qui est pas possible ici donc voilà ce sont des petites vérification qui sont très importantes à faire quand même pour voir si la réponse que tu apportes est complètement cohérente