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Utiliser la courbe représentative de f pour démontrer une propriété de l'une de ses primitives

Comment justifier qu'une primitive de la fonction f a telle ou telle propriété si on connaît la courbe de cette fonction f.
On sait que l'on peut déduire certaines propriétés d'une fonction f de l'étude de sa dérivée. Si F est une primitive de f, alors f est la dérivée de F, donc on peut déduire certaines propriétés de F de l'étude de f.

Raisonner sur une fonction g telle que g=f si on connaît la courbe représentative de f

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction f :
Soit g:x0xf(t)dt. g est une primitive de f et g=f. On peut déduire des propriétés de la fonction g de la courbe de f.
Par exemple, f est positive sur l’intervalle [0,10], donc g est croissante sur cet intervalle.
f s'annule en changeant de signe en 10, donc le point d'abscisse 10 est un extremum de la fonction g. Comme f est positive pour les valeurs de x inférieures à 10 et négative pour les valeurs de x supérieures à 10, cet extremum est un maximum.
On peut aussi en déduire quelle est la concavité de la fonction g. f est croissante sur l'intervalle [2,5], donc g est convexe sur cet intervalle. f est décroissante sur l'intervalle [5,13], donc g est concave sur cet intervalle. g change de concavité en 5, donc le point d'abscisse 5 est un point d'inflexion.
Exercice 1
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g(x)=0xf(t)dt.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que g est convexe sur l'intervalle ]5,10[ est :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g(x)=0xf(t)dt.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que le point d'abscisse 8 est un minimum de la fonction g est :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Attention à ne pas confondre une propriété de la fonction avec celle de l'une de ses primitives. Par exemple, il ne faut pas faire la faute de dire que telle primitive de f est positive car la fonction f est croissante ; en l'occurrence c'est l'inverse : la primitive de f est croissante car la fonction f est positive.
Voici un tableau récapitulatif :
Si la fonction f ...Sa primitive g:xaxf(t)dt ...
est positive +est croissante
est négative est décroissante
est croissante est convexe
est décroissante est concave
s’annule en changeant de signea un extremum
a un extremuma un point d'inflexion
Un dernier exercice
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g(x)=0xf(t)dt.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que g est positive sur l'intervalle [7,12] est :
Choisissez une seule réponse :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur demortierj
    Pour la dernière question, on dit que :
    "On voit que sur l'intervalle [0,7], le domaine est situé au-dessus de l'axe des x, donc g est positive sur cet intervalle."

    Est ce que c'est correcte ? Si j'ai G(x) = 5x-100 000, et G(x)'=f(x)

    f(x) vaudra 5 entre [0;7] et le domaine sera au dessus de l'axe des X, c'est pas pour autant que G(x) est positive non ?
    (3 votes)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      La confusion vient d'un manque d'attention aux bornes de l'intégrale qui définit g(x).
      Dire que (g(x)')=f(x) est un raccourci.
      Quand on définit g(x) comme une intégrale définie, entre 0 et x, ça veut dire, avec ta notation, que g(x)=G(x)-G(0).
      Et donc, g(x)=5x-100000-(0-100000)=5x, qui est bien positive sur l'intervalle considéré.
      Mais il est sûrement plus facile de considérer g(x) comme l'aire sous la courbe de f, entre x=0 et x=x.
      (4 votes)
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