On commence par représenter la surface. On détermine ensuite les points d'intersection entre la courbe et la droite.

Les points d'intersection ont pour coordonnées respectives $(0;0)$‍ et $(2;4)$‍.

La rotation de la surface plane autour de l'axe des abscisses engendre un un disque troué. Pour calculer le volume de ce solide, on utilise alors la méthode des anneaux (ou disques troués).

On a représenté un anneau type, une section transversale du solide perpendiculaire à l'axe de rotation.

Le volume d'un anneau est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur $dx$‍.

L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques. Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation : $2x$‍ et le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation $x^2$‍. On obtient donc :

Le volume d'un anneau est $v(x)=\pi (4x^2-x^4)dx$‍.

On partage l'intervalle $[0;2]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆x_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(x)={\displaystyle {\int }_0^2\pi (4x^2-x^4)dx}$‍.

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{64\pi }{15}}$‍ unités de volume.

On commence par représenter la surface. On détermine ensuite les points d'intersection entre les deux courbes.

Dans cet exercice, l'axe des abscisses n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation $y=-1$‍.

On a représenté un anneau type, une section transversale du solide perpendiculaire à l'axe de rotation.

Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation $y=-1$‍ : $\sqrt{x}-(-1)=\surd x+1$‍. Le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation : $x^2-(-1)=x^2+1$‍.

Le volume de l'anneau d'aire de base $A(x)$‍ et de hauteur $dx$‍ est égal à : $v(x)=\pi (x+2\sqrt{x}-x^4-2x^2)dx$‍.

On partage l'intervalle $[0;1]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆x_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(x)={\displaystyle {\int }_0^1\pi (x+2\sqrt{x}-x^4-2x^2)dx}$‍.

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{29\pi }{30}}$‍ unités de volume.

On représente tout d'abord le domaine.

Dans cet exercice, l'axe de rotation n'est pas $(Ox)$‍ mais l'axe des ordonnées.

On obtient des anneaux parallèles à l'axe des abscisses :

Ici, les anneaux sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc $dy$‍. On doit alors exprimer les rayons en fonction de $y$‍.

Le rayon extérieur est $y$‍ et le rayon intérieur est $y^2$‍.

L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques.

Le volume de l'anneau d'aire de base $A(y)$‍ et de hauteur $dy$‍ est égal à : $v(y)=\pi (y^2-y^4)dy$‍.

On partage l'intervalle $[0;1]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆y_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(y)={\displaystyle {\int }_0^1\pi (y^2-y^4)dy}$‍.

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{2\pi }{15}}$‍ unités de volume.

On représente tout d'abord le domaine.

Dans cet exercice, l'axe des ordonnées n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation $x=4$‍.

On a représenté le domaine et une coupe transversale du solide.

Ici, les anneaux sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc $dy$‍. On doit alors exprimer les rayons en fonction de $y$‍.

Le rayon extérieur est $4-{\displaystyle \frac{1}{4}}{y}^2$‍ et le rayon intérieur est $4-y$‍.

L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques.

Le volume de l'anneau d'aire de base $A(y)$‍ et de hauteur $dy$‍ est égal à : $v(y)=\pi ({\displaystyle \frac{1}{16}}{y}^4-3y^2+8y)dy$‍.

On partage l'intervalle $[0;4]$‍ en $n$‍ intervalles de largeur $∆y_i$‍ dans le but de découper le solide en $n$‍ anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre $n$‍ vers l'infini, on obtient : $V(y)={\displaystyle {\int }_0^4\pi ({\displaystyle \frac{1}{16}}{y}^4-3y^2+8y)dy}$‍.

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

Le volume de ce solide est égal à ${\displaystyle \frac{64\pi }{5}}$‍ unités de volume.