Les foyers d'une ellipse

Si $M$M est un point d'une ellipse et si $\text F$start text, F, end text et $\text F'$start text, F, end text, prime sont les $\maroonC{\text{foyers}}$start color #ed5fa6, start text, f, o, y, e, r, s, end text, end color #ed5fa6 de cette ellipse, alors la somme de la distance du point $\text M$start text, M, end text au point $\text F$start text, F, end text et de celle du point $\text M$start text, M, end text au point $\text F'$start text, F, end text, prime, $\text{MF+MF'}$start text, M, F, plus, M, F, apostrophe, end text, est constante. $\text F$start text, F, end text et $\text F'$start text, F, end text, prime sont sur le $\greenD{\text{grand axe}}$start color #1fab54, start text, g, r, a, n, d, space, a, x, e, end text, end color #1fab54 de l'ellipse.

La longueur $p$p du demi grand axe, la longueur $q$q du demi petit axe et la distance $c$c entre le centre de l'ellipse et l'un des foyers sont liés par la relation :

Les foyers sont sur le grand axe de l'ellipse et chacun d'eux est à la distance $c$c du centre. Si on connaît les coordonnées du centre de l'ellipse et les longueurs $p$p et $q$q des demi axes de l'ellipse, on calcule $c$c en utilisant la relation $c^2=p^2-q^2$c, squared, equals, p, squared, minus, q, squared, et on peut en déduire les coordonnées des foyers. Voici un exemple :

La longueur du demi grand axe est $5$5 et celle du demi petit axe est $4$4. Donc $p=5$p, equals, 5 et $q=4$q, equals, 4.

Le grand axe est parallèle à l'axe des $x$x, donc les foyers ont la même ordonnée que le centre de l'ellipse. Les coordonnées de ce centre sont $(-4~;3)$left parenthesis, minus, 4, space, ;, 3, right parenthesis. La distance entre le centre et l'un des foyers est $\greenD3$start color #1fab54, 3, end color #1fab54. On en déduit que les coordonnées des foyers sont $(-4\pm\greenD 3,3)$left parenthesis, minus, 4, plus minus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, 3, right parenthesis, c'est à dire $(-7~;3)$left parenthesis, minus, 7, space, ;, 3, right parenthesis et $(-1~;3)$left parenthesis, minus, 1, space, ;, 3, right parenthesis.