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6e année secondaire - 6h

Les foyers d'une ellipse

Un rappel de cours et des exercices pour vérifier que vous avez bien compris.

Les foyers d'une ellipse

Si M est un point d'une ellipse et si start text, F, end text et start text, F, end text, prime sont les start color #ed5fa6, start text, f, o, y, e, r, s, end text, end color #ed5fa6 de cette ellipse, alors la somme de la distance du point start text, M, end text au point start text, F, end text et de celle du point start text, M, end text au point start text, F, end text, prime, start text, M, F, plus, M, F, apostrophe, end text, est constante. start text, F, end text et start text, F, end text, prime sont sur le start color #1fab54, start text, g, r, a, n, d, space, a, x, e, end text, end color #1fab54 de l'ellipse.
La longueur p du demi grand axe, la longueur q du demi petit axe et la distance c entre le centre de l'ellipse et l'un des foyers sont liés par la relation :
c, squared, equals, p, squared, minus, q, squared

Comment déterminer les coordonnées des foyers

Les foyers sont sur le grand axe de l'ellipse et chacun d'eux est à la distance c du centre. Si on connaît les coordonnées du centre de l'ellipse et les longueurs p et q des demi axes de l'ellipse, on calcule c en utilisant la relation c, squared, equals, p, squared, minus, q, squared, et on peut en déduire les coordonnées des foyers. Voici un exemple :
La longueur du demi grand axe est 5 et celle du demi petit axe est 4. Donc p, equals, 5 et q, equals, 4.
c2=p2q2c2=5242c2=9c=3\begin{aligned} c^2&=p^2-q^2 \\\\ c^2&=5^2-4^2 \\\\ c^2&=9 \\\\ c&=3 \end{aligned}
Le grand axe est parallèle à l'axe des x, donc les foyers ont la même ordonnée que le centre de l'ellipse. Les coordonnées de ce centre sont left parenthesis, minus, 4, space, ;, 3, right parenthesis. La distance entre le centre et l'un des foyers est start color #1fab54, 3, end color #1fab54. On en déduit que les coordonnées des foyers sont left parenthesis, minus, 4, plus minus, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, 3, right parenthesis, c'est à dire left parenthesis, minus, 7, space, ;, 3, right parenthesis et left parenthesis, minus, 1, space, ;, 3, right parenthesis.

À vous !

Exercice 1
Soit cette ellipse. Placer ses foyers sur le graphique.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices et ces exercices.