If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :9:11

Identifier une conique à partir d'une équation (ellipse)

Les coniques

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va faire quelque chose de très classique c'est à dire que très souvent on peut te donner une équation une équation qui sera pas donnée sous une forme classique standard et te demander de quelle section conique il s'agit donc d'identifier la nature de cette section conique et ses éléments caractéristiques et puis d'en tracer la cour de représentative alors comme je disais tout à l'heure évidemment on va pas de donner une équation déjà sous forme standard on va donner quelque chose de développer par exemple ça 9x au carré on va prendre cet exemple là + 4 y au carré + 54 x -8 y -8 y +49 égal à zéro donc c'est pas l'équation standard qui te permettrait de déterminer tout de suite toutes les caractéristiques de la section comics ici c'est plus compliqué mais on peut quand même regarder ce qu'on a ici et déduire un certain nombre de choses qui vont être utiles assez rapidement déjà si les deux variables xy ne sont pas toutes les deux n'apparaissent pas toutes les deux élevée au carré si on a par exemple un x au carré mais pas de y au carré ou bien l'un vers ce ca veut probablement dire que on est en présence d'une parabole bon ici c'est pas le cas on m'a dxo carré et d y au carré donc ça ça sera probablement pas une parabole et on peut regarder les coefficients de ces termes de degré 2 est en général si ce sont les mêmes eh bien on aura probablement un cercle ici c'est pas le cas puisque le coefficient dxo caresser 9 le coefficient d y au carré c4 donc ça c'est probablement pas un cercle une autre chose utile c'est que si les coefficients de ces x carré de y au carré ont le même s'ils n'y sont tous les deux positifs ou tous les deux négatifs ça veut probablement dire qu'il s'agit d'une ellipse donc là c'est le cas donc ça va être probablement une ellipse on va on va le voir tout à l'heure un peu plus précisément dernière chose que je voulais dire c'est que dans le cas où ces coefficients ne sont pas égaux mais qu'en plus ils sont deux signes opposé donc sains et positifs l'autre négatif et bien dans ce cas là c'est probablement une hyperbole voilà donc tu vois que rien qu'en examinant l'équation qu'on te donne tu peux déjà avoir une idée de quelle sera la nature de cette section comics par contre si on te demande de la tracé par exemple de tracer sa courbe représentative delà il faut forcément faire un peu plus de travail alors c'est ce qu'on va faire on va essayer de transformer cette équation pour la transe de la m souffre de la forme standard qui permettra de déterminer les éléments caractéristiques de laconique alors pour faire ça je vais utiliser la technique de complétion au carré on peut appeler ça comme ça c'est à dire que je vais essayer de faire apparaître des éléments élevée au carré dans cette expression là alors si tu est pas familier à ça je te conseille vivement d'aller regarder ses vidéos où on a utilisé plusieurs fois cette technique de complétion au carré en tout cas là ce que je vais faire celle occupée déjà des termes en xo cas en x donc à celui ci ne fixe au carré est celui-là 54 x je veux les écrire ici déjà donc g9x au carré + 54 x voilà ensuite je vais regrouper les termes en y donc à celui ci 4 y au carré est celui-là - 8 y donc je vais laisser une place ici parce que le jeu ça va être de reconnaître ici le début d'un carré donc il va falloir ajouter quelque chose je laisse une place là et j'écris 4 y les éléments en y 1 dont 4 y -8 y est là c'est pareil on va essayer de reconnaître un carré là dedans donc je laisse une petite place et je vais ajouter ce qui reste ce que j'ai pas encore écrit c'est à dire ceux +49 ici + 49 et donc ça c'est égal à zéro voilà alors là j'ai vraiment rien faire j'ai juste réorganiser un petit peu l'écriture et maintenant on va essayer de trouver des carrés alors pour ça vraiment un bon réflexe est d'essayer de simplifier au maximum ce qu'on a là par exemple on peut on voit tout de suite qu'on peut factoriser neuf ici on va pouvoir factoriser 4 tout ça c'est des petites choses qui vont simplifier l'expression est de permettre plus facilement de trouver de quelques arrêts il va s'agir ici donc je vais factoriser neuf donc les 9 x x au carré plus 6 x puis l'âge et ce quelque chose que je vais devoir ajouter voilà ça c'est pour cette partie là je vais faire la même chose avec la partie ici on y donc je vais factoriser 4g donc quatre fois y au carré - 2 y et là je vais devoir ajouter quelque chose aussi pour obtenir un quart est donc le laisse un peu de place et ensuite j'ai ce +49 égal à zéro alors maintenant je vais essayer de voir ce qu'on a vu ce qu on doit ajouter ici est ce qu on doit ajouter là sachant que quand j'ajoute quelque chose d'un côté il va falloir que je fasse la même chose de l'autre côté évidemment alors ici gx au carré plus 6 x plus quelque chose là ce terme là c'est le double produit ici c'est 6 donc la moitié ces trois donc ce que je dois ajouter ici c'est le carré de 3 c'est à dire neuf donc je vais ajouter ici 9 alors en fait j'ajoute neuf dans cette parenthèse en tout de ce côté ci j'ai ajouté 9 x 9 9 x 9 ça fait 81 donc ici j'ai déjà ajouter 80 alors je vais ajouter 80 tout de suite de l'autre côté pour pas oubliée voilà et maintenant je vais m'occuper de cette parenthèse là et c'est exactement la même technique ici j' y au carré - 2 y le double produit ces deux donc la moitié c'est un donc ce que je dois ajouter ici c'est un au carré c'est à dire un alors j'ai ajouté un dans la parenthèse que je dois multiplié par quatre en tout de ce côté ci j'ai ajouté 4 1 donc je vais ajouter tout de suite 4 de l'autre côté voilà alors là j'ai fait le gros du travail je vais continuer j'ai neuf fois cette parenthèse x au carré plus 6 x + 9 et là on reconnaît une identité remarquable c'est x + 3 au carré je t'engage à vérifier ça si tu es pas d'accord plus ici j'ai quatre fois y au carré - 2 y +1 là aussi on reconnaît une identité remarquable c'est y moins un au carré donc finalement ce que j'ai ici là c'est plus 4 x y moins un au carré et puis ce 49 je vais le faire passer de l'autre côté donc je vais mettre le et galicie et de l'autre côté j'ai 81 +4 ça fait 85 - le 49 qui est ici donc moins 49 voilà alors je peux faire cette soustraction l'a85 -9 ça fait 76 - 40 ça fait 36 donc ici en fait je vais effacer ça ici j'ai 36 voilà alors là on s'approche fort d'une équation standard et ça va être probablement l'équation d'une ellipse puisque les coefficients qui sont là ne sont pas égaux alors toutes les équations qu'on a donné c'était on avait toujours ici égal à 1 donc on va sera mené à ça pour aller un peu plus loin on va en fait divisé les deux membres par 36 ici je vais avoir du coup 9 / 36 9 / 36 en fait ça ça fait un quart donc je vais écrire ça comme ça en fait du coup j'ai x + 3 au carré / 4 plus ici alors j'ai 4 / 36 4 / 36 ça va faire un neuvième donc ici je vais avoir y moins un écho car est divisé par neuf et ça cette fois ci ça sera égale à 36 / 36 c'est-à-dire à 1 et là on m'a vraiment l'équation d'une ellipse c'est tout à fait la forme standard de l'équation d'une ellipse donc on va pouvoir à partir de cette équation lala tracé alors déjà quel va être le centre de cette ellipse bien son app 600 l'obtient en disant que cette partie là doit être nul 1 2x plus 3 doit être égale à zéro donc l'abscisse du centre c'est moins 3 et puis leur donner en l'obtient en disant que ça ça doit être égale à zéro y -1 doit être égale à zéro c'est à dire que y doit être égal à 1 donc le centre c'est le point de coordonner - 3 1 ça c'est le centre de l'ellipse je l'écris un sas et le centre de l'ellipse alors je vais essayer de la trace et je vais faire un petit peu de place voilà je vais faire à croquer assez rapide voilà donc là j'ai mes axes ici c'est la kz dx la kz2 y je vais prendre une échelle voilà alors le centre de l'ellipse il a pour abscisse -3 donc la g - 1 - 2 - 3 et pour ordonner un donc c'est ce point ensuite on va déterminer la valeur du de l'axé horizontal est en fait cet axe horizontal en l'obtient en prenant la racine carrée de ce coefficient l'a donc la racine carrée de 4 c'est à dire 2 c'est à dire que à partir de ce point là j'ai une distance de 2 donc j'arrive à ce point ci voilà horizontalement et de l'autre côté aussi alors je vais le faire là j'ai moins 4 - 5 donc je peux aller de ce côté là voilà donc finalement ça c'est l' axe horizontal maintenant pour retrouver l'axé vertical je dois prendre la racine carrée de ce nombre là donc racine carrée de neuf c3 et donc ça veut dire qu'à partir du centre je peux me déplacer verticalement vers le haut de 3 unités alors j'ai une deux trois donc je peux arriver jusque là ça c'est donc le demi grands axes de l'élite et puis de l'autre côté je peux aussi me déplacer de trois unités vers le bas j'arrive donc ici voilà donc là j'ai le grand axe et le petit axe de l'ellipse je vais essayer de la trace est aussi proprement que je peux avec l'outil de tracer des ellipses qui est pas très facile à utiliser avec ce programme voilà ça donnera quelque chose comme ça voilà donc je te répète un peu la méthode qu'on est con a employé ici pour arriver à ce graphique c'est que on est parti d'une équation vraiment assez compliqué à partir de laquelle on pouvait pas avoir beaucoup d'indications on a transformé cette équation en utilisant plusieurs fois la technique de complétion carey c'est à dire en essayant de faire apparaître des carrés qui sont ceux ci la ces deux là et ensuite on va diviser ici par ce terme là pour avoir un haut membre de droite de l'équation voilà ce qui est important c'est surtout de savoir utiliser cette technique de complétion au carré à bientôt