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Identifier une conique à partir d'une équation (hyperbole)

Les coniques

Transcription de la vidéo

alors on va continuer à s'entraîner à identifier des comics à partir d'une équation données sous forme développée alors je vais prendre par exemple cette équation l'a4 y au carré - 50 x égal à 25 x au carré plus disons 16 y +109 voilà donc là on va essayer de déterminer de quel type de code de section comics il s'agit est ce que c'est une parabole une hyperbole une ellipse ou un cercle on va essayer de trouver ça et de déterminer les éléments caractéristiques de cette section comics alors pour ça on va essayer de se ramener petit à petit à une équation de soumis sous une forme que standard donc déjà ce qu'on va faire c'est ramener tous les termes en x ou y d'un seul côté et tous les termes constants de l'autre donc je vais commencer je vais m'occuper déjà des termes on y alors j'ai ces termes celui là quatre y au carré et celui là de l'autre côté donc je vais écrire ça comme ça 4 y au carré - 16 y ici je vais faire passer les 16 y de ce côté là le signe change ensuite je vais m'occuper des termes en x alors j'essaie moins 50 x ici et puis j'essaie 25 x au carré là que je vais faire passer de l'autre côté donc je vais avoir moins 25 x au carré et puis moins 50 x voilà et ça ça va être égal à 109 être égal à 100 9 qui est la seule chose qui reste de ce côté là le terme constants alors en regardant l'équation peut déjà avoir une indication sur la nature de la section conique qui était représenté par cette équation parce qu'on a des termes en y au carré et des termes en x au carré donc ça va pas être une parabole puisque dans le cas d'une parabole et il y aurait un des termes de second degré qui serait absent celui en x ou celui en y ait en fait c'est plutôt une hyperbole puisqu'on a les termes en y au carré les termes en x au carré qui ont des coefficients qui sont différents on a quatre y au carré - 25 x au carré donc ils sont différents et en plus ils sont deux signes contraires donc ça ça nous dit que c'est certainement une hyperbole en tout cas on va continuer on va essayer de se rapprocher encore plus d'une équation standard et pour ça je vais essayer de reconnaître dans cette partie là qui contient les y le début d'un carré et dans cette partie là le début d'un quart et aussi dans la partie 5 arrêts qui va donc faire intervenir la variable x pour celui ci donc on va essayer de compléter ces deux termes là pour avoir un car et je t'engage aller voir les vidéos là dessus on a fait des vidéos sur cette méthode de complétion carey qui est vraiment super utile dans ce type d'exercice là je vais commencer par factoriser je vois qu'on peut factoriser 4 ici donc je vais factoriser 4 tout de suite ça permettra d'avoir une expression plus simple qui on reconnaîtra plus facilement un carré donc j'ai ici quatre y de -4 y et puis ici ben je vais ajouter quelque chose je sais pas quoi encore on verra donc je laisse la place pour ça je vais ajouter quelque chose pour avoir ici un carré le carré d'une certaine expression avec des y ensuite la partie des x je peux factoriser en fait moins 25 puisque ici j'ai 50 kits 2 x 25 donc je vais factoriser -25 donc ça va me donner moins 25 x x au carré + 2 x ici comme tout à l'heure je vais laisser un peu de place parce que là je vais ajouter quelque chose on va voir quoi pour essayer d'obtenir ici un carré 1 alors ça ça doit être égale à sang neuf voilà alors maintenant on va essayer de déterminer ce qu'il faut ajouter dans chaque parenthèse ici pour avoir des carrés donc ça veut dire qu'il faut essayer de voir ici le début d'une identité remarquable en fait ça c'est le début de y -2 au carré y moi de le toux élevée au carré et si tu vois pas sous de ça tout de suite tu peux aussi te dire que -4 ici c'est le double produit donc si tu en prends la moitié c'est moins deux et donc ce qu'il faut ajouter ici c'est moins de élevée au carré - de élevée au carré ça fait 4 voilà donc ici j'ai ajouté quatre dans cette parenthèse mais je les x 4 ici donc en fait en tout de ce côté là du signe égal j'ai ajouté 16 donc il faut absolument que je j'ajoute 16 aussi de ce côté là pour garder l'égalité voilà et maintenant je vais faire la même chose de ce côté là et ici comme tout à l'heure tu peux peut-être voir tout de suite que ça c'est le début de xx +1 élevée au carré si tu vois pas ça comme tout à l'heure tu peux te dire que ici + 2 c'est le double produit donc la moitié de plus deux c'est plus un donc ce qu'il faut et ajouter ici c'est plus un élevée au carré c'est à dire un donc ici je dois ajouter 1 est en fait donc j'ajoute un dans cette parenthèse qui veut dire que en tout j'ajoute un fois moins 25 de ce signe de ce côté là du signe égal donc ici je dois ajouter aussi un fois moins 25 c'est à dire en fait je dois enlever 25 voilà alors maintenant je verrai écrire ça un petit peu plus proprement en faisant apparaître les quarts est ici donc je vais avoir quatre fois ici on a dit que c'était y -2 élevée au carré y moins de élevée au carré est là si tu vois si tu es pas convaincu tu peux aussi développer ça pour voir si on tue on obtient bien ce terme là voilà ensuite du côté des x pour les x qui sont là j'ai moins 25 fois ici on a dit que c'était x + 1 x + 1 le tout élevée au carré là aussi tu peux vérifier que ces deux expressions là sont bien les mêmes voilà et ça ça doit être égale à 109 +16 -25 109 +16 ça fait 125 -25 ça fait sens et là tu vois qu'on se rapproche vraiment d'une équation d'une section comics sous la forme standard en fait ce qu'il faut faire encore c'est en général toutes les équations de comics sont donnés avec de ce côté là du signe égal la valeur 1 simplement sauf l'équation du cercle donc on va maintenant divisé par 100 pour obtenir ici la valeur 1 alors je vais avoir ici 4 / 100 capes / sens a fait 1 sur 25 donc finalement je vais avoir y -2 élevée au carré / 25 alors maintenant ici je vais avoir moins 25 / 125 / sens a fait un quart donc je vais avoir moins un quart de x plus à au carré moi je vais l'écrire comme ça - x + 1 au carré divisé par quatre voilà et ça c'est égal à 1 et là on a vraiment une équation standard d'une section conique et à partir de cette équation standard on voit que ici ce qu'on a c'est une hyperbole hyperbole c'est une hyperbole parce qu'il ya ce signe - ici on va essayer de la trace et cette hyperbole je vais faire un petit peu de place alors je vais tracé des axes donc ici je vais placer l'axé des ordonnées et l'axé des abscisses alors la première chose à faire évidemment c'est d'arriver à placer le centre donc je vais placer je vais mettre des unités voilà c'est l'origine et je vais essayer de déterminer le centre de cette hyperbole alors les coordonnées du centre on les obtient en annulant les termes qui contiennent les coupes des coordonnées x et y les variables x et y donc pour l'abc faut que cette partie là x + 1 soit égal à zéro donc il faut que petit hic soit égal à -1 ce qui veut dire que l'abscisse du centre c'est moins 1 et puis pour obtenir lors données du centre je vais annuler cette partie qui contient les y il faut que y moins 2 soit égal à zéro c'est à dire que y sont égales à deux donc le centre c'est le point de coordonnées moins-12 donc moins 1 c'est là et puis deux c1 2 c'est ici donc le centre c'est ce point ci de coordonnées moins 1,2 alors maintenant il faudrait qu'on arrive à déterminer les asymptote de 7,2 cette hyperbole alors pour ça il ya des formules mais je moi je m'en souviens jamais de mémoire donc je préfère toujours refaire le petit raisonnement qui permet d'arriver à ces formules donc pour ça je préfère toujours faire un changement de variables pour me ramener vraiment à l'hyperbole centre et en l'origine donc je vais faire ce changement de variables à je vais remplacer je veux dire que grant x et petit x + 1 et que grant y quand y ces petites y -2 donc finalement la parabole que j'obtiens ce et grands y au carré sur 25 - carvin - x grand x au carré / 4 égal à 1 et ça c'est vraiment l'hyperbole standards qu'on a l'habitude de travailler je préfère travailler avec celle là et donc quand on cherche les asymptote on va regarder en fait ce qui se passe quand x tend vers plus ou moins l'infini dans le cas de cette hyperbole là donc en fait je vais essayer d'exprimer y en fonction de x quand y en fonction des x pour ça je peux commencer par tous x 25 et je vais avoir grant y au carré - 25 x au carré 25 fois grand x ou carrés sur quatre égal à 25 mais du coup je peux isolés y au carré y au carré c'est donc 25 x au carré sur 4 + 25 voilà juste simplement passer ce terme là de l'autre côté et du coup j'obtiens que grant y c'est plus ou moins racine carrée de cette expression là donc racine carrée de 25 quand x au carré sur 4 + 25 8 25 et donc quand x tend vers plus ou moins l'infini alors ça je sais pas si tu es déjà familiers enfin je comprends ce que tu comprends l'idée ont fait tendre le x vers une valeur très très grande positive ou une valeur négative en valeur absolue très très grande mais négative voilà et donc on regarde vers quoi la valeur y va tendre alors ça s'est formalisé par le langage des limites je pas si tu as déjà vu ça en tout cas ici ce qui se passe c'est que quand grand x grandi en valeur absolue ce terme là 25 fois grand x au carré / 4 devient très très grand et ceux plus 25 devient complètement négligeable donc finalement y va tendre vers plus ou moins racine carrée de 25 x au carré sur quatre et saab racine carrée de 25 x au carré sur quatre ça fait 5 2 me de x donc finalement y va tendre vers plus ou moins cinq demi de grand x voilà et là on obtient en fait les équations de ces asymptote dans le cas attention dans le cas de cette hyper boksic est donc centré en l'origine du repaire m'a fait un changement de variables alors tu peux ici repasser ou assez variable à petit hic ces petites y pourra voir l'équation des asymptote danseurs persie mais tu peux aussi tout simplement considéré fait que saisissez asymptote passe forcément par le centre donc en fait on va tracer des droites qui passent par ce centre qui ont 70 là + 5 2 millions -5 2 me donc j'ai tracé ces deux asymptote la première donc elles passent par ce point ci et là pour coefficient directeur 5,2 me +5 2 me ce qui veut dire que quand je me déplace de deux unités j'arrive donc ici je me déplace de deux unités horizontalement et bien je vais monter de 5 unités verticalement donc là je vais avoir large et 1 1 ici 2 3 4 et 5 j'ai pas fait la ksa c'est long je vais le rallonger voilà donc finalement cette première à symptômes tels passe par ce point-ci ici puisque quand je me déplace horizontalement de plus deux unités eh bien je monte de plus cinq unités donc la première asymptote jeu la trace elle passe par ces deux points là voilà bon il faut que je vais la prolonger de l'autre côté voilà pour la deuxième à symptômes tels passe par le centre est est là pourquoi efficient directeur -5 2 me donc si je me déplace de plus deux unités je descends de 5 alors je vais placer ce 2e point 1 2 3 4 5 donc la deuxième à symptômes elle passe par ce point-ci ici voilà donc je vais la trace est aussi comme ça donc je passe par ce point et le centre voilà donc là j'ai tracé les deux à 70 de l'hyperbole maintenant il faut savoir dans quelle partie elle se place là elle veut diviser le plan en quatre parties eh bien il faut savoir où est notre hyperbole et pour faire ça le plus simple c'est d'aller regarder de dalé identifié deux points de l'hyperbole pour savoir dans quelle partie du plan en mai alors évidemment il faut le faire de manière intelligente c'est à dire choisir bien la valeur de x qui va nous permettre de faire le moins de calculs possible ici si je remplace x par -1 7 partis lavasse annulés et donc je vais obtenir y moins de élevée au carré sur 25 égal à 1 je vais faire ce calcul là dessous donc pour x égal à -1 j'obtiens y moi 2 élevée au carré sur 25 égal à 1 donc ça c'est la même chose qu'eux y -2 élevée au carré égal à 25 maintenant si je prends la racine carrée des deux côtés des deux membres j'obtiens y -2 égale à plus ou moins racine carrée de 25 c'est à dire plus ou moins 5 mai donc ça c'est y égale plus ou moins 5 + 2 donc j'obtiens deux valeurs y égale à 5 + 2 c'est-à-dire 7 et y égal moins 5 + 2 c'est-à-dire moins 3 voilà ça c'est les deux valeurs que j'obtiens c'est à dire que j'obtiens deux poids de la courbe le point de coordonnées moins 1,7 et le point de coordonner - 1 - 3 ces deux points là sont sur l'hyperbole alors je vais les placer le premier dessin petit peu moins un set il est ici alors moins 1 c'est là et 7 et alors là j'ai un deux trois quatre cinq six sept îles et l'a donc j'obtiens ce point là qui est un point de l'hyperbole je fais voilà c'est le point de coordonner moins 1,7 et puis le deuxième point c'est le point de coordonnées - 1 - 3 je vais placer aussi moins un s'est toujours là et puis moins 3 g - 1 1 2 - 3 donc là l'hyperbole passe par ce point là aussi et là on a tout ce qu'il faut je vais prolonger un petit peu les deux les deux asymptote de ce côté là surtout voilà une et en voilà deux voilà donc l'hyperbole aller dans ces deux parties là et elle passe par ces deux points 6 et donc elle va ressembler à quelque chose comme ça elle est très proche ici de la symptômes tels san eloy une petit à petit elle passe par ce point là et l ordre se rapproche petit à petit de cette asymptote 6 voilà ça c'est là une partie de l'hyperbole j'en ai une deuxième ici donc elle est très proche de cette droite là 2 700pts hôtel ce lcf en éloigne elle passe par lepoint spécifié puis elle se rapproche plus en plus de 7 à 70 voilà bon c'est un peu long mais tu vois qu'on arrive vraiment à caractériser a tracé un croquis assez précis à ses fidèles de cette hyperbole