Nous savons à présent que nous pouvons approcher l'aire sous la courbe représentative d'une fonction sur un intervalle donné par la somme des aires de rectangles (somme de Riemann ou méthode des rectangles). Dans la méthode des rectangles, on remplace $f$f par la valeur qu'elle prend sur une borne de l'intervalle (borne inférieure ou extrémité gauche, borne supérieure ou extrémité droite). Comme on ne voit pas de raison de privilégier l'une des bornes, il est peut-être judicieux d'approximer $f$f par la moyenne des valeurs qu'elle prend aux deux extrémités de l'intervalle. La moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trapèze délimité par une fonction affine qui prend les mêmes valeurs que $f$f aux extrémités. C'est la méthode des trapèzes.

Idée-clé : En approchant l'aire du domaine par la somme des aires des trapèzes ('' méthode des trapèzes ''), nous obtenons une approximation plus précise de cette aire qu'en approchant l'aire du domaine par la somme des aires des rectangles ('' méthode des rectangles '').

Nous allons approximer l'aire sous la courbe représentative de la fonction $f : x↦3 \ln(x)$f, colon, x, ↦, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis sur l'intervalle $[2; 8]$open bracket, 2, ;, 8, close bracket en construisant trois trapèzes.

Soit le domaine compris délimité par la courbe représentative de $f$f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x= 2$x, equals, 2 et $x=8$x, equals, 8. On découpe l'intervalle $[2~;8]$open bracket, 2, space, ;, 8, close bracket en trois intervalles de même amplitude et sur chacun on construit des trapèzes. Nous appelons le premier trapèze $T_1$T, start subscript, 1, end subscript, le deuxième $T_2$T, start subscript, 2, end subscript, et le troisième $T_3$T, start subscript, 3, end subscript.

On rappelle que l'aire d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la somme des longueurs de sa grande base et de sa petite base par sa hauteur : $h×\left(\dfrac{b_1 + b_2}{2}\right)$h, ×, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, où $h$h est sa hauteur et $b_1$b, start subscript, 1, end subscript et $b_2$b, start subscript, 2, end subscript sont ses bases.

Le trapèze est "posé " sur sa hauteur.

Le trapèze est construit sur l'intervalle $[\greenD 2~; \maroonD 4]$open bracket, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, space, ;, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, close bracket. Sa hauteur $h$h a pour mesure l'amplitude de cet intervalle : $2$2.

La première base $b_1$b, start subscript, 1, end subscript a pour longueur l'image de $\greenD 2$start color #1fab54, 2, end color #1fab54 par la fonction $f :x↦ 3 \ln(x)$f, colon, x, ↦, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, soit $f(3)=3 \ln (\greenD 2)$f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, right parenthesis.

La deuxième base $b_2$b, start subscript, 2, end subscript a pour longueur l'image de $\maroonD 4$start color #ca337c, 4, end color #ca337c par la fonction $f :x↦ 3 \ln(x)$f, colon, x, ↦, 3, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, soit $f(4)=3 \ln (\maroonD 4)$f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, start color #ca337c, 4, end color #ca337c, right parenthesis.

On obtient :

L'aire $T_1$T, start subscript, 1, end subscript du premier trapèze est donc égale à :

On réduit :

On cherche les mesures de la hauteur et des deux bases :

On remplace et on simplifie :

Nous approchons l'aire totale par la somme des aires de chacun des trois trapèzes :

On obtient après simplification :