La méthode des rectangles et la notation sigma - un défi

sur le graphique ci dessous on a tracé la courbe représentative d'une fonction f et en donne une valeur approché de l'air comprise entre la courbe l'axé des abscisses et les droites d'équations x égal moins 5 eric segal 7 en construisant 24 rectangle de même largeur huit bleues et 16 rouge et on nous demande de sélectionner les propositions vrai dans ces trois propositions qui sont là bon déjà on va regarder un petit peu comment sont construits ces rectangles ce qui est important a remarqué c'est que en fait pour calculer la hauteur de chaque rectangle il faut prendre le côté droit c'est à dire celui ci voilà ça c'est une petite remarque en fait pour chaque rectangle on va considérer pour calculer la hauteur le côté droit de ce rectangle si on avait considéré le côté gauche celui ci par exemple pour ce rectangle là en fait on aurait dû considérer ce rectangle ici un le découpage aurait été assez différent donc voilà ça c'est à retenir ici on s'occupe des côté droit de nous rectangle et donc les propositions qu'on nous propose c'est celle ci et leur cette somme là est la somme des airs de tous les rectangle bleu donc tous ces rectangles la cette somme là c'est la somme des airs de tous les rectangle rouge donc cela qu'ils sont sous l'axé des abscisses et enfin cette somme là est la somme des airs de tous les rectangles voilà donc là ce qui serait bien c'est que tu essayes de ton côté en mettant la vidéo sur pause et puis on verra ensemble comment on peut apporter une réponse je vais examiner déjà cette première somme c'est la somme de illégal 1 jusqu'à 8 de cette expression là alors effectivement les rectangle bleu il y en a 1 ici 2 3 4 5 6 7 et 8 on a donc bien une somme de 8 terme ça ça correspond avec cette somme là qui va de illégal 1 jusqu'à 8 donc on a bien une somme de 8 terme ici ça ça correspond et maintenant il faut qu'on regarde l'expression qui est ici alors ici dans cette expression on a un demi qui est une constante x ce nombre là qui est donc l'image de la valeur d'un de la fonction en un certain point alors à priori à cette expression là ça va être la hauteur d'un des rectangles et celle là la largeur donc ce qu'on peut faire c'est déjà vérifié si nos rectangle ont bien une largeur de 1 2 me pour saab à ce qu'on dit c'est que on a construit 24 rectangle de même largeur donc en fait on a divisé cet intervalle là entre - 5 et 7 celui là en 24 parties égales et cet intervalle à bien son amplitude ses 12 son amplitude c'est 12 de moins 5 à 7 il ya douze unités et donc si on divise cet intervalle là en 24 parties égales et bien chaque partir à une longueur ici de 1/2 donc effectivement ça c'est un demi la largeur ici du deuxième de rectangles c'est un demi aussi donc ce terme-là un 1/2 ça donne bien la largeur de chacun de mes rectangle maintenant il faut qu'on regarde si effectivement ce terme qui est là la f2 -5 plus si sûrs d'eux correspond bien aux auteurs de mai rectangle qui sont ici alors je vais regarder déjà pourri égale un pourri égal 1 on doit calculer f2 moins 5 + 1/2 alors moins 5 c'est ici est plus un demi on est bien ici donc on calcule f2 moins 5 + 1/2 qui est donc l'image de ce point là et c'est bien toute cette hauteur là voilà donc ça c'est bien la hauteur du premier rectangle alors ça suffit pas il faut quand même qu'on regarde par exemple le deuxième terme donc le deuxième terme c'est pourri égal 2 donc on doit avoir un f2 moins 5 + 2 sur deux donc f2 moins 5 + 1 c'est-à-dire f de -4 et ça effectivement c'est moins 4 donc là on aura bien un f2 -4 voilà en fait ce qui se passe c'est qu'on part de -5 on commence déjà par augmenter l'abscisse de 1/2 donc on se retrouve ici et on calcule bien la bonne hauteur du rectangle et à chaque fois on augmente de 1,2 me lapp 6 ce qui revient bien à chaque fois a calculé la hauteur du côté droit de chaque rectangle donc ça c'est bon donc ici on a bien la somme des huit rectangle bleu qui sont là ce qui veut dire que cette affirmation là elle est vrai ici cette somme là représente bien la somme des airs de tous les rectangle bleu bon va examiner maintenant la deuxième proposition qui est là donc c'est la somme de 1 à 16 2 1/2 de f2 - un plus si sûrs d'eux alors ici on a effectivement 16 triangle rouge ce trio le rouge c'est ce qui est noté ici et ici la somme qui est proposé elle va de 1 à 16 donc effectivement ça c'est une somme de 16 terme ce qui correspond à ce qu'on a ici c'est déjà un point et puis comme tout à l'heure le 1/2 qui est là on peut l'interpréter comme la largeur d'un de ces rectangles puisqu'on a dit que chaque rectangle avait une largeur de 1 2 me et il reste comme tout à l'heure à regarder si cette expression la f2 - un plus si sûrs d'eux eh bien ça représente bien la hauteur de chaque rectangle alors on va regarder on part de -1 qui est ici ça c'est moins 1 et pour également ici on ajoute un demi heure on va moins 1 + 1/2 qu'est ce point là et donc il faut calculer l'image de ce point là et f2 - 1/2 et bien c'est zéro donc on voit que la ici ça correspondrait à prendre l'air de ce petit segment ici dans un rectangle de hauteur nul donc ça fait zéro ça nous apprend pas grand chose on va quand même regarder le terme correspondant à 10 égal 2 dans cette somme donc là on est à -1 2 me donc on est à moins un qui est ici et en ajoute deux sur deux c'est à dire 1 donc on va à 0 cayla et là du coup on doit calculer la hauteur de ce rectangle et du coup ici ce qu'on a c'est f20 f20 c'est cette distance là là effectivement on a l'impression que on a compté l'air de ce rectangle là mais en fait c'est pas tout à fait vrai puisque ici f20 et bien c'est une valeur négative f20 c'est négatif et si on calcule les termes suivants en fait à chaque fois ce terme là sera négatif ici ça va représenter cette distance là ensuite ça va représenter cette distance-là et ainsi de suite donc ces termes là sont toujours négatifs et donc quand on fait la somme de tous ces nombres négatifs évidemment ce qu'on obtient c'est un nombre négatif or si on fait la somme des airs de tous les rectangle rouge et bien forcément fin dans la manière classique d'appréhender ce que c'est qu'une aire c'est un nombre positif donc la somme des airs de tous les rectangle rouge qui est là et bien c'est forcément un nombre positif alors que cette somme la donne un nombre négatif donc ça c'est pas possible cette réponse âge peu la barre et voilà et on va regarder maintenant exactement de la même manière la troisième affirmation si tu veux tu peux essayer de le faire de ton côté en mettant la vidéo sur pause et puis me retrouver après en tout cas ici j'ai cette somme là donc c'est la somme de 1 à 24 donc c'est une somme de 24 terme de 1/2 faux f de -5 plus si sûrs d'eux on va regarder ça après et on nous dit que ça doit être égale à la somme des airs de tous les rectangles donc la somme de tous ces rectangles qui sont là en fait la première chose que je peux remarquer c'est que cette somme là je vais la réécrire la somme pourri qui va de 1 à 24 de ce terme là et bien je peux dire que c'est la somme qui va de 1 à 8 de ce terme-là 1/2 bf2 moins 5 + i sur deux plus la somme d autres termes que je peux écrire comme ça c'est la somme pourri qui va de du coup 9 jusqu'à 24 de ces termes là leur 1/2 pardon fois ces termes la f2 moins 5 + i sur deux intéressant c'est que ici cette somme là on a vu ce exactement celle là donc on sait que c'est la somme des airs de tous les rectangle bleu et puis il faut qu'on regarde ce qui se passe avec ce terme là et en fait c'est assez facile de voir que c'est exactement la même somme que celle ci puisque ici en fait pour qu'ils gagnent 9 donc je pars de -5 et j'ajoute neuf fois un demi donc une fois deux fois trois fois 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x demi j'arrive à ce point là est donc tout à l'heure on aurait tendance à dire que c'est la somme de ce rectangle qui est ici et donc comme tout à l'heure on pourrait penser que le terme qu'on a ici pourri et gagnent 9 et bien c'est l'ère de ce rectangle qui est là mais en fait c'est pas tout à fait ça puisque exactement pour les mêmes raisons tout à l'heure en fait c'est l'opposé de cette terre et pourriez gall 10 et bien on se déplace ici donc on à l'opposé de l'air de ce rectangle qui elle celui là est en fait cette somme là c'est exactement celle ci donc elle va donner l'opposé de la somme des airs de tous les rectangle rouge qui sont là donc finalement cette proposition là n'est pas juste non plus puisque ce qu'on a c'est d'une part la somme des rd rectangle bleu plus l'opposé de la somme des rd rectangle rouge voilà donc la seule proposition qui était bonne c'était celle-là la première est celle là je peux la barre est aussi