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Cours : 6e année secondaire - 6 h > Chapitre 8 

Leçon 4: Les propriétés des intégrales

Relation de Chasles pour les intégrales définies - Exemple

Trouver une intégrale en découpant l'intervalle en plus petits intervalles qui sont adjacents les uns des autres. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans ce graphique on a tracé la courbe représentatif d'une certaine fonction g et tu vois que ce qu'on peut remarquer aussi c'est que l'axé des abscisses ici en fait c'est l'ex dtn ce qui veut dire que la variable qu'on utilise pour cette fonction j'ai c'est la variable t alors à partir de cette fonction petit j'ai je vais définir une autre fonction que je vais appeler granger et granger 2x je vais le définir comme une certaine intégral en fait ça va être l'intégrale de -3 à x 2 g de thé été mention la variable pour notre fonction granger c'est la variable x qui est donc la borne supérieure de l'intégrale qui est ici est la variable t elle concerne la fonction petit j'ai c'est cette variable qu'on place ici sur l'acte et apsys donc dans cette vidéo je voudrais qu'on essaie de comprendre ce type de fonctions qui sont définies par des intégrales et la première chose qu'on pourrait faire ses calculs et la valeur de cette fonction granger pour certaines valeurs de la variable x alors je te propose pour commencer de calculer ça granger de 4 donc tu peux mettre la vidéo sur poser pour essayer de le faire de ton côté et puis de toute façon je vais le faire avec toi ensuite alors on va le faire ensemble je vais déjà commencer par réécrire granger de 4 c'est donc ici l'intégrale de -3 à x mais x est égal à 4 donc finalement j'ai l'intégrale de -3 à 4,2 g de thé dt on va regarder un petit peu sur le graphique à quoi ça correspond donc j'ai déjà de la borne inférieure de mon intervalle d'intégration qui est moins 3 elle est ici hein c'est cette valeur la moins trois donc voilà je commence mon intégral ici à partir de cette valeur là j'ai de moins 3 et puis la valeur 4 qui est la borne supérieure d'intégration elle est ici voilà c'est cette valeur là donc ça c'est petit g24 alors évidemment une intégrale de ce genre là on peut l'interpréter en terme d'air de certaines portions du plan et ça sera l'ère de la portion de plans qui est situé sous la courbe est au dessus de l'axé des abscisses entre la droite x également 1 3 et la droite x égale 4 ici donc ce qu'on peut voir c'est que on a déjà une première partie de cette aire qui est celle ci et puis il ya cette autre partie là que je vais colorier en bleu voilà celle là donc ces deux triangles mais ce qu'il faut remarquer c'est que cette partie là en fait c'est pas l'air de la portion de plans qui est au dessus de l'axé des abscisses et en dessous de la courbe en fait c'est l'opposé de cette terre-là donc il faut faire attention ici on a l'impression que cette intégrale là c'est la somme de ces deux aires mais c'est pas tout à fait ça c'est bien ces terres là mais ensuite il faut soustraire ces terres là puisque ce que j'ai ici c'est l'opposé de l'ère du triangle bleu voilà alors je vais le faire de manière un petit peu plus clair même en utilisant la relation de chasles puisque ici on a une portion de planck est découpé en deux parties très nettement défini donc je vais découpé mon intégrale avec la relation de chasles de cette manière là je vais d'abord à voir l'intégrale 2 - 3 à 0 donc zéro ici 2 g de thé tt plus l'intégrale de 0 à 4 2 g de thé d'été une application de la relation de chasles pour les intégrales est ce qu'on peut voir ici c'est que cette intégrale la moue de -3 0 2 g de thé d'été en fait c'est exactement l'air de ce triangle donc ça on peut le calculer assez facilement j'ai un triangle de hauteur 3 et de base 3 dont claire de ce triangle c'est 3 fois 3 / 2 ça fait 4,5 et ensuite ce triangle là que j'ai assuré en bleu et bien c'est un triangle rectangle de base 4 et de hauteur 4 donc son air est égal à 4 x 4 sur deux c'est à dire 8 ans donc l'air de ce triangle est égal à 8 mais ce qu'on a dit tout à l'heure c'est que cette intégrale là en fait c'est l'opposé de cet air là donc finalement ce que j'essaie 4 5 - 8 je répète ici on doit soustraire 8 puisqu'on doit soustraire l'air de ce triangle bleu voilà donc cela on a terminé g24 c'est donc 4 5 - 8 ça fait moins 3,5 voilà je vais enlever ça et je te propose de calculer une autre valeur de cette fonction granger disons par exemple g28 donc mais la vidéo sur pause essaye de le faire en s'inspirant de ce qu'on a fait tout à l'heure et on se retrouve alors j'ai 2,8 et bien exactement comme tout à l'heure on va pouvoir écrire son expression c'est l'intégrale de -3 à 8,2 g de thé dt en fait ça correspondrait à calculer l'air qui est sous la courbe de la fonction j'ai au dessus de l'axé des abscisses entre la droite d'équations x égal moins trois qui est donc celle là comme tout à l'heure et la droite d'équations x égale 8 qui est celle ci ici la première chose qui me vient à l'idée c'est que on a déjà calculé l'intégrale de - 3 à 4 de la fonction petit j'ai en fait ça revenait à calculer la valeur granger de quatre et ça c'est utile parce que je peut réécrire mon intégral comme ça en fait c'est l'intégrale de moins 3 -3 à 4,2 g de thé dt plus l'intégrale 2 4 à 8,2 g de thé dt et donc cette grall là on l'a calculé tout à l'heure a été égal à -3 5 et puis la deuxième ici je peux la ré écrire différemment en fait je vais la découper et je vais la découper en intégrale de 4 à 6 plus l'intégrale de 6 à 8 donc finalement ce que j'obtiens sais que j'ai de 8 est égal à moins 3,5 plus l'intégrale de 4 à 6 2 g de thé d'été plus l'intégrale de 6 à 8,2 g de thé d'été alors sept ralala de 4 à 6 2 g de thé d'été elle correspond en fait à l'opposé de ce triangle qui est ici puisque cette intégrale la correspondrait à l'ère de la portion de planquer sous la courbe d'équations y égale g de thé est au dessus de l'axé des abscisses et donc en fait c'est l'opposé de l'air de ce triangle qui est là alors on peut calculer ces terres assez facilement on a un triangle de hauteur 4 et de base 2 donc son rc 4 x 2 sur 2 c'est à dire 4 donc cette intégrale là elle est égale à moins 4 et puis cette intégrale la l'intégrale de 6 à 8,2 g de thé d'été elle correspond exactement à l'ère du triangle qui est ici alors c'est un triangle de base d'oeufs et de hauteur 4 donc son air c'est exactement la même qu'ici c'est 4 à et donc finalement g28 est égal à -3 5 - 4 + 4 c'est à dire moins 3,5 voilà alors juste une petite remarque pour terminer ici on est partie de l'intégrale de - 3 à 4 qu'on avait calculé avant et puis ensuite pour l'intégrale de 4 à 8 effectivement ce qu on pouvait remarquer tout de suite c'est que on enlève l'air d'un triangle ici et ensuite on ajoute l'air de ce triangle là qui est exactement la même donc effectivement l'intégrale de 4 à 8 de la fonction g de thé d'été eh bien elle est égale à zéro