Intersection d'un cercle et d'une hyperbole

le cercle d'équations x o car est plus y au carré - 8x égal zéro couple hyperbole d'équations x au carré sur neuf mois y aux carrés sur quatre égal 1 en deux points a et b l'équation du cercle de diamètre ab et on nous propose en fait de on nous demande de choisir de déterminer l'équation du cercle de diamètre à b ou a et b sont les deux points d'intersection de ce cercle et de cette hyperbole alors avant de commencer on va essayer de se représenter un petit peu la situation donc je vais faire un croquis voilà je vais représenter ici mon repère avec l'axé des x l'accès y ici et puis donc notre cercle alors c'est le cercle d'équations x o car est plus y au carré - 8x égal zéro donc ça je vais leur écrire comme ça je vais écrire que c'est x au carré - 8x plus y au carré égal zéro et maintenant je vais essayer de déterminer les coordonnées du centre de ce cercle et pour ça je vais essayer de compléter sa à un carré donc je vais ajouter 16 donc ici je vais ajouter 16 aux membres de droite de gauche pardon et du coup je vais ajouter 16 aux membres de droite aussi alors ici x au carré - 8 x + 16 ça assez x - 4 au carré plus donc y au carré et c'est égal à 16 donc finalement c'est un cercle de rayon 4 et dont le centre est le point de coordonner 4 0 donc je vais le dessiner ici alors je vais prendre ici 1 2 3 4 donc ce point là ici c'est le centre de notre cercle et puis ici alors je vais prendre un deux trois quatre donc je sais que notre cercle va passer par ce point là par ce point là et puis je vais dessiner aussi d'autres points 2 3 4 va passer par enfin le cercle va passer par ce point là et puis aussi ici 2 3 je vais essayer de tracer ce cercle à main levée voilà il fait quelque chose comme ça bon c'est très très approximatif mais c'est juste pour avoir l'idée donc ce point là je rappel c'est le point de coordonnées 4 0 celui ci et donc cette distance la c4 qui est la racine carrée de 16 maintenant on va essayer de représenter l'hyperbole d'équations xo carey sur neuf moins y aux carrés sur quatre égal 1 alors ça puisque la composante x est positif en fait c'est une hyperbole qui s'ouvre dans la direction de l'ex des abscisses alors pour déterminer les asymptote soit tu te rappelles des formules mais c'est pas très utile moi je préfère toujours comprendre comment est ce qu'on fait pour retrouver les choses plutôt que d'encombrer ma mémoire avec des formules que je peux retenir pas très bien donc ici je vais écrire y carré je vais écrire y carré en fonction de x donc j'ai y carrés sur quatre qui est égal à ixxo carrés sur neuf moins 1 et donc y carré et bien c'est 4x carrés sur neuf moins 4 du coup y est bien est égale à plus ou moins racine carrée de 4x au carré sur neuf moins 4 et ça c'est très intéressant parce que quand x tend vers plus ou moins l'infini et bien y va avoir le même comportement que plus ou moins racine carrée de 4x au carré sur neuf puisque ce terme là ne va pas changer grand chose et ça nous donne les asymptote qui sont les droites d'équations x/y égale plus ou moins racine carrée de 4x au carré sur neuf c'est à dire plus ou moins 2/3 de x donc je vais tracé c'est à 70 et je sais que ma première asymptote va passer par le point de coordonnées 3 2 donc 3 2 c'est ce point là est la deuxième va passer par le point de coordonner 3 - 2 donc elle va passer par ce point là alors je vais essayer de tracer mon asymptote je vais la faire comme ça voilà et la deuxième comme ça alors il ya autre chose qu'on peut dire c'est que s'ils y est égal à zéro dans notre équation je vais le faire ici si y est égal à zéro eh bien on aura x au carré sur neuf égal 1 donc x au carré va être égal à 9 donc x est égale à plus ou moins 3 plus ou moins racine carrée de neuf qui veut dire que on a nos deux sommet de notre hyperbole le premier est ici pour x égal 3 et le deuxième celui de la branche négative il sera ici - 3 voilà donc je vais tracer notre hyperbole elle fait quelque chose comme ça chose comme ça en bon noatun petiote se prolonge de l'autre côté comme ça et celle-ci se prolonge comme ça et on aurait une autre branche la deuxième de notre hyperbole qui serait voilà comme ça mais en fait ce qui se passe ce côté de ce côté-là nous intéresse pas puisqu'il n'ya pas d'intersections avec le cercle donc on va se concentrer sur cette partie là alors ce que nous dit l'énoncé c'est que notre cercle coupe notre pas notre hyperbole en deux points qui sont ces points-là a et b terminées les coordonnées de ce ces points a et b et pour ça je vais utiliser cette cette équation l'équation de mon cercle mais je vais l'écrire un peu différemment je vais écrire que y au carré c'est égal à 8 x - x au carré ça c'est l'équation de mon cercle que j'ai juste transformer et maintenant je vais utiliser l'équation de mon hyperbole et je vais remplacer grecs 2 par cette expression là y au carré donc je vais avoir x au carré sur neuf moins 8 x - six carrés sur quatre égal 1 je vais x 9 x 4 et gad 36 des deux côtés ça va me donner 4 x au carré - neuf fois tous à 8 x - x au carré égale 36 alors je vais avoir 4 x au carré ensuite j'aurai +96 au carré donc ça me donne 13 x au carré et puis -9 x 8 x - 72 x et puis je vais écrire je vais faire passer ce 36 de l'autre côté -36 égal 0 alors ça c'est un polynôme 2° 2 je vais calculé sont discriminants pour trouver les racines je sais que les racines sont x égales - b c'est-à-dire 72 plus racine carrée du delta plus ou moins racine carrée du discriminant divisé par deux fois à c'est-à-dire deux fois 13 c'est-à-dire 26 alors de discriminant je vais le calcul est à part delta c'est bo carré donc 72 au carré - quatre fois à c'est donc ici ça va me donner plus 4 x 13 x 36 alors il faut qu'on arrive à simplifier un petit peu ça 72 o car est je vais le laisser comme ça et puis ici j'ai 4 x 13 x 36 36 x 2 ça fait soixante douze donc ça va être intéressant je vais l'écrire comme ça deux fois 13 x 72 et puis je vais factoriser 72-72 facteur de 72 plus deux fois 13 c'est-à-dire 26 donc finalement le discriminant ses 72 x 72 +26 a fait 98 est ici parce que je peux faire c'est 40 98 ces deux fois quarante neuf donc je vais enfin tu vois ce que je suis en train de faire je suis en train d'essayer de faire apparaître un carré des cars est parfait pour pouvoir prendre facilement la racine carrée du discriminant alors ici j'ai donc 2 x 36 x 2 x 49 et sa 49 ces pratiques parce que c'est un careï 6,36 c'est un carré et 2 x 2 c'est un quart est donc là ça me paraît pas mal puisque je vais pouvoir écrire ça comme ça 4 x 36 x 49 et donc racine carrée de delta alors je vais l'écrire à côté racine carrée de delta eh bien ces deux fois ses racines carrées de quatre fois racine carrée de 36 fois racine carrée de 49 donc ces 2 x 6 x 7 2 x 6 x 7 c'est à dire 12 x 7 alors 10.7 ça fait 70 plus deux fois 7 ça fait 84 nos racines carrées de notre discriminant ses 84 finalement je vais revenir ici sur des solutions x est égal à 72 plus ou moins 84 sur 26 alors ici la racine qui va nous intéresser c'est la racine qui est positive ici si je prends 72 - 84 sur 26 je vais être dans la partie négative du plan la partie des abscisses négative et c'est pas celle qui nous intéresse donc ici la solution qui nous intéresse c'est 72 +84 sur 26 alors là je peut diviser le numérateur et le dénominateur par deux ça va me donner 36 plus la moitié de 84 c 40 2 sur 13 alors c'est un petit peu plus simple du coup 36 +42 ça fait 78 78 sur 13 et là ça tombe assez bien puisque 78 / xiii et bien c'est égal à 6 donc ça veut dire que finalement je reviens sur monde et sur nos dessins ici ce point là ça tombe à peu près enfin je l'avais dessinée à peu près correctement ici c'est 6 l'abscisse de du point a et du point b c 6 par contre on connaît pas son ordonné donc ce point là c'est le point de corde dab 6,6 et d'ordonner qu'il faut calculer et le point baisser le point des dab 6,6 et ils sont ordonnés sera l'opposée alors je pense que pour calculer l'ordonné de ces points là on peut utiliser soit l'équation de l'hyperbole soit celle du cercle et en fait je vais utiliser celle là je pense que c'est celle qui est le plus simple donc je vais avoir y au carré y au carré qui est égal à 8 x 6 - 36 - 6 au carré huit fois ci ça fait quarante huit 48 mois 38 ça fait douze 12 donc y au carré est égal à 12 donc y c'est plus ou moins racine carrée de 12 ce qui veut dire que ici ce point là qu'on a appelée à dont leurs données positives et bien sont ordonnés ses racines carrées de 12 racine carrée de 12 donc assez le point de coordonner 6 et racine carrée de 12 et b et le point de coordonnées 6 et moins racine carrée de 12 voilà alors là on a presque tout ce qu'il faut pour déterminer les conditions de notre cercle puisque ici cette distance-là ses racines carrées de 12 et on sait que le centre du cercle c'est le point de coordonnées 6 0 donc ça veut dire que notre cercle alors je vais le faire en jaune ici le cercle il a pour équation x - 6 au carré plus y au carré ça c'est la forme de l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées 6 0 et ça c'est égal au quart est du rayon est ici le rayon on a dit que c'était cette distance là qui est donc égale à racine carrée de 12 donc finalement c'est 12 alors voilà ça c'est l'équation de notre cercle qui est ce cercle là alors je vais essayer de le faire je vais prendre une autre couleur c'est le cercle qui est ici un fait très mal fait mais bon c'est pas très grave et on va regarder donc son équation nous on la trouvait sous cette forme là on va regarder quelle forme on nous proposait donc c'est tout des formes développer donc je vais développer cette équation là tout simplement alors ça me donne x au carré - 2 x 6 x x donc moins 12 x + 36 plus y au carré égal 12 et donc maintenant je vais soustraire 12 de chaque côté et j'obtiens x au carré - 12 x plus y au carré plus 36 - 12 c'est à dire 24 égal 0 et c'est donc celle ci xo carré plus y au carré - 12 x +24 égal 0 voilà à bientôt