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Une fonction associée à une fonction exponentielle de base 2 - autre exemple

Comment déduire la courbe de la fonction g définie par g(x)=-1×2ˣ⁺³+4 de celle de la fonction f définie par f(x)=2ˣ.

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Transcription de la vidéo

alors on nous donne la courbe d'équations y égal depuis 106 qui est représentée ici donc c'est la courbe d'une fonction exponentielle de la fonction fdx égal depuis 106 et on nous demande d'en déduire la courbe d'équations y égal moins 1 fois depuis 106 +3 +4 et on nous propose de choisir cette courbe parmi les quatre qui sont proposés ici alors avant d'aller examiner toutes ses courbes ce qu'on va faire c'est essayer de comprendre comment est ce qu'on peut obtenir la courbe d'équations y égal moins 1 fois depuis 106 +3 +4 à partir de celle-ci qui nous est donné alors pour ça ce qu'il faut faire c'est déjà repéré les changements dans l'équation alors il ya un premier changement qui est si les exposants on avait depuis 106 maintenant l'exposant cx +3 donc ça c'est un premier changement ensuite on a un deuxième changement qui est con à x - 1 ce terme là depuis 106 +3 et ensuite un troisième changement qui est qu on a additionné 4 alors je vais prendre les choses petit à petit et je vais déjà me concentrer sur cette courbe l'adéquation y égal de puissance x + 3 alors ça c'est la courbe de représentatif d'une fonction exponentielle aussi en fait ce qui se passe c'est que cette courbe là on peut l'obtenir à partir de celle qui est tracée ici en faisant une translation horizontale de trois unités vers la gauche c'est à dire une translation une translation de vecteurs - 3 zéro alors là il ya une erreur très classique c'est de faire une translation horizontale de trois unités vers la droite et pour pas se tromper suffit de prendre quelques points par exemple si je prends le point d'absys -3 et bien sont ordonnés ces deux puissances - trois plus trois c'est-à-dire de puissance 0 donc ton ordonné c'est un donc la courbe elle va passer par le point de coordonnées x égal moins trois qui est ici et elle passe donc par ce point là et tu vois que à partir de ce point là qu'est le point d'abc 0 eh bien on a décalé de trois unités vers la gauche donc voilà ça te permet de pas trompé si tu veux on fait un deuxième exemple on va prendre par exemple le point d'apsys - 1 donc son ordonné ces deux puissances - 1 + 3 c'est-à-dire deux puissances 2 c'est à dire 4 1 donc elle passe aussi par ce point-là de coordonner - 1 4 qui est donc ici et tu vois que là aussi on a décalé le point correspondant sur cette courbe la de trois unités vers la gauche voilà donc cette courbe ici est une translation de la courbe violette de vecteurs - 3 0 donc je vais la trace est grossièrement à main levée voilà alors ça c'est pour le premier changement qui est ici celui là maintenant je vais m'occuper du deuxième changement c'est à dire que je vais essayer de tracer la courbe d'équations y égales - 1 foi de puissance x + 3 et là en fait c'est tout simplement une symétrie par rapport à l'axé des x une symétrie par rapport à lax au xx lax des abscisses puisque effectivement si tu prends par exemple le point d'apsys -3 et bien sont ordonnés sera l'opposée de leurs données de ce point là donc moins un que je place ici c'est la même chose pour ce point là le point d'apsys - 1 sont ordonnés sera l'opposée de leurs données de ce point là donc donc moins quatre ici voilà donc là aussi je peux être assez grossièrement cette courbe là qui est donc la courbe symétrique de cette courbe bleue par rapport à l'axé des abscisses je vais la tracé très grossièrement voilà elle fait quelque chose comme ça donc c'est pas d joli tracé nord façade c'est juste pour se donner une idée alors ce qu'on peut remarquer c'est que les deux courbes bleues et vertes ont toutes les deux une asymptote en moins d'1 fini qui est l'axé des abscisses alors maintenant il nous reste à observer ce troisième changement qu'elle a le dernier donc on ajoute 4 et ça ça correspond à une translation à une translation verticale de quatre unités vers le haut donc c'est une translation de vecteurs 04 là aussi pour pas se tromper tu peux prendre quelques points par exemple le point d'absys x égal moins trois qui est ici et bien sont ordonnés ce sera lors donné ce point-là augmenté de 4 unités donc moins un +4 ça fait 3 elle passe par ce point ici on peut prendre un deuxième point pour x égales - 1 et bien leur donner de notre point sera l'ordonné de ce point-ci augmenté de 4 unités donc ici et puis une autre chose qui peut être utile c'est que quand on a dit que la courbe verte avait une asymptote en moins l'infini qui était l'axé des abscisses 7 à 70 et trans là tu es aussi par le vecteur 04 donc en fait cette courbe là à une 1,70 aussi en moins l'infini qui est la droite d'équations y égale 4 y égale 4 donc je peux tracé grossièrement cette cour elle fait quelque chose comme ça elle passe par ce point là par ce point là et voilà elle fait quelque chose comme ça alors ce qui pourrait être utile c'est d'aller calculer leurs données à l'origine aussi un on peut le faire pour x égal 0 y ça sera donc égale à moins 1 fois deux puissances 3 + 4 c'est à dire moins 8 + 4 c'est-à-dire moins 4 et voilà je laisse est bien tracée ici voilà donc maintenant on a tracé notre courbe alors on va pouvoir choisir assez facilement celle qui nous concerne alors celle ci ait un symptôme horizontale d'équations y égale 4 donc ça c'est une bonne chose par contre la translation horizontale n'est pas la bonne la courbe a été transporté vers la droite donc ça c'est pas possible c'est pas la bonne courbe ensuite la deuxième possibilité donc il ya une asymptote aussi d'équations y égale 4 horizontale mais c'est une asymptote en plus l'infini du coup cette courbe là ne peut pas être la nôtre non plus alors celle ci semble être bonne on a bien la sainteté horizontale d'équations y égale 4 et puis il ordonnait à l'origine est la bonne donc ça c'est la bonne solution et puis enfin on va quand même regarder cette quatrième possibilité donc comme tout à l'heure comme pour la réponse b ici on a une asymptote horizontale en plus infinie donc celle là aussi n'est pas notre courbe voilà à bientôt