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Démonstration des propriétés du logarithme

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Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :
logb(bc)=c
L'image de bc par la fonction logarithme de base b est c.
Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.

Le logarithme d'un produit : logb(MN)=logb(M)+logb(N)

On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où M=4, N=8 et b=2.
On remplace M et N par ces valeurs dans logb(MN). On obtient :
log2(4×8)=log2(22×23)22=4 et 23=8=log2(22+3)am×an=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)car 2=log2(4) et 3=log2(8)
Donc on a établi que log2(4×8)=log2(4)+log2(8).
Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.
Le raisonnement précédent repose sur le fait que 4 et 8 sont des puissances de 2. Mais dans le cas général, quels que soient M>0 et b>0, il existe un réel x tel que bx=M et quels que soient N>0 et b>0, il existe un réel y tel que by=N.
bx=M équivaut à logb(M)=x et by=N équivaut à logb(N)=y.
On obtient :
logb(MN)=logb(bx×by)=logb(bx+y)=x+ycar logb(bc)=c=logb(M)+logb(N)

Le logarithme d'un quotient : logb(MN)=logb(M)logb(N)

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.
Si x et y sont les réels tels que M=bx et N=by, alors logb(M)=x et logb(N)=y.
Donc :
logb(MN)=logb(bxby)=logb(bxy)=xycar logb(bc)=c=logb(M)logb(N)

Le logarithme d'une puissance : logb(Mp)=plogb(M)

Si x est le réel tel que M=bx, alors logb(M)=x.
Donc :
logb(Mp)=logb((bx)p)=logb(bxp)=xplogb(bc)=c=logb(M)×p=p×logb(M)
On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.
logb(Mp)=logb(M×M××M), avec p facteurs égaux à M.
On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :
logb(Mp)=logb(M×M××M)=logb(M)+logb(M)++logb(M)=p×logb(M)
Et on a ainsi démontré les trois propriétés !

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