Module et argument d'un nombre complexe

donc dans cette vidéo je voudrais clarifier la manière dont on représente les nombres complexes donc un nombre complexe c'est quoi et bien nombreux complexes c'est une partie réelle plus une partie imaginaire ici donc on note souvent a + b iru à est une partie réelle donc réel et béhi et la partie imaginaire donc partie imaginaire et on a défini deux fonctions en fait qu'ils prennent en entrée un nombre complexe et qui nous retourne la partie réelle ou la partie imaginaire donc re2 aide c'est la fonction qui pour un nombre complexe z retourne sa partie réelle c'est à dire ici de la même manière j'ai une fonction qui s'appelle im de z qui me retourne sa partie imaginaire où le coefficient qui est devant i de la partie imaginaire le pool coefficient b ici est donc une manière de représenter et de visualiser ses nombreux lacets de les représenter dans ce qu'on appelle un plan complexe où un diagramme d'argan donc voilà le plan complexe donc le plan complexe à pour abscisse lax des réelles et pour ordonner lax des imaginaires et donc pour placer z et bien on place le coup nombres complexes z comme un vecteur dont l'origine est zéro et dont le point d'arrivée va être et bien le point qui a pour coordonner à b donc à sur la partie réelle et b sur les imaginaires b ici donc ce vecteur là que je dessine en blanc et bien c'est mon vecteur êtes donc là si tu as une petite connaissance et bien des coordonnées polaire et bien on peut voir tout de suite que z et pas uniquement représentable par des gourdonnais ici a et b mais que je peux définir z en fait à partir d'un angle donc un angle is it état et à partir d'une distance la distance ici du vecteur être que je vais noté petit air est en fait cet angle teta là et bien on l'appelle l'argument deux aides donc ça c'est arguments arguments de z c'est l'argument deux aides et air qu est ce que c est bien r on l'appelle le module le module de z et comment est-ce qu'on peut calculer teta et air à partir de a et b donc voilà je regardais air doncker qu est ce que c est bien c'est le module 2 aides qu'on note comme ceux ci c'est à dire avec des valeurs absolues autour de deux aides et ça qu'est ce que c'est et bien je peux considérer ici un triangle qui est ce triangle là ici qui a pour coter donc je vais le marquer explicitement l'envers là un côté ici petit tas qui envers et ce côté là ici qui est petit b donc je vais les remarquer ici ça c'est petit pays et donc qu'est-ce que c'est air ici et bien r je peux tout simplement appliqué le théorème de pythagore dans ce triangle là puisque c'est un triangle rectangle ici donc air car et c'est quoi et bien c'est à carrer plus becquart est donc ici et bien ce sera donc racine de akkar et plus becquart est tout simplement maintenant si je regarde d'état d'état qu'est ce que c'est donc ce que j'ai dit ces textes et l'argument deux aides et on note souvent arguent de z comme ceci voilà est ça qu est ce que c est bien de la même manière j'aimerais bien ici exprimer teta en fonction d'eux a et b donc quelle est la fonction trigonométriques qui me permettrait de faire ça eh bien je sais que la bc le côté qui est opposée at état est assez le côté adjacent hat et a donc qu'est-ce qui me lie le côté adjacent le côté opposé et l'angle teta et bien c'est la fonction dans gens dont tangente deux états qu'est ce que me dit tangente de teta et bien c'est l'opposé donc l'opposé cb sûr adjacent qui est petit donc pour avoir des tas eh bien il me suffit juste de prendre l'arc tangente 2b sera donc tu es tu as été gala arc tan arc thann 2 b / a maintenant essayons de faire l'inversé à dire que si gr et état et bien je voudrais essayer et bien de retrouver a et b donc mettons que gr et d'état comment est ce que je peux retrouver a et b et bien pareil je peux regarder dans le triangle ici le triangle rectangle et trouver une relation qui me lie rt tae ho hé bien la relation qui me lie rt taille assez une fonction de trigonométrie c'est le cosinus qui me dit que caussinus de teta et bien c'est égal à la dja sent donc à sur petite terre donc c'est à dire que j'ai caussinus d'état est égale à la dja 100 ha sur l'hypoténuse petit air donc je peux en déduira en fonction deux airs et de teta est à est égal à air caussinus d'état donc si je fais la même chose pour b quelle est la fonction de trigonométrie kimmerly l'angle teta l'hypoténuse air et le côté opposé b et bien c'est le sinus donc sinus teta sinus l'état dans ce triangle à qu'est ce que c'est c'est le côté opposé b / l'hypothénuse r et donc ça eh bien ça me donne des en fonction de r&t tas en d'autres termes bettega l'aer sinus d'état et donc comment on écrit ce nombre complexe ici donc comment on écrit ça donc je fais un tout petit peu de place pour qu'on y voit un petit peu plus clair je vais effacer ici cette partie là voilà alors comment on écrit et bien le nombre complexe sous cette forme là et bien j'ai donc z qui est égal à a donc acr caussinus d'état la partie réelle doncker caussinus d'état plus la partie imaginaire donc la partie imaginaire que je vais m en rouge cette fois ci qui est b doncker sinus teta fois petit é petit ici donc ce que je vois ici c'est que je peux factoriser par air de chaque côté donc je vais le faire donc c'est égal à air facteur de r2 caussinus d'état plus sinus et à y voilà et ça en fait tu dois te rappeler quelque chose si tu as déjà vu la vidéo sur les séries taylor c'est ce qu'on appelle la formule de l'air et la formule de l'air en fait elle nous donne quelque chose de très intéressant puisqu'on sait que pour d'état exprimé en radiant cost et a+ cimt état de y et bien c'est égal à exponentielle de hits et a donc en fait ce que j'ai à te dire là c'est qu'en fait z est égale aussi à re2 it état ou r est la distance ici du vecteur z est et à l'angle avec la kz des réelles sur le plan complexe donc ce qu'on a vu ici c'est qu'il y avait deux écritures possible pour le nombres complexes z soit l'écriture avec les coordonnées a et b qu'on appelle la forme cartésienne soit une écriture qui implique une exponentielle ici avec la distance le module r et l'argument teta qu'on appelle la forme exponentielle ici non maintenant on va voir comment et bien on peut passer de l'un à l'autre et comment ça c'est à quoi ça sert donc je vais effacer tout ça j'ai tout effacé on va faire un exemple on va faire un exemple ensemble pour passer et bien des coordonnées cartésienne aux coordonnées exponentielle alors l'exemple que je te propose c'est en partant de z1 est égale à la racine de 3 / 2 + 1/2 de y donc eh bien si je cherche à savoir le module 2 et d'un alors le module qu est ce que c est bien le module on a dit tout à l'heure que c'était racine carrée de akkar et + b carrés où ce nombre-là ici donc tu sais qu'un nombre complexe peut s'écrire sur la forme a + b i donc le module ici c'est à carrer plus becquart et donc ça nous donne quoi ici et bien ça nous donne ça nous donne racines de racines de 3 sur deux au carré plus un demi 1/2 au cari ici donc ça qu'est ce que ça fait bien racine donc je vais tout développé pour que ça se soient très très claires donc racine de 3 sur deux au carré saint lô fait 3/4 + 1/2 au carré plus un corps trois quarts plus un car ça me fait un donc j'ai racines de 1 et ça donc c'est égal à maintenant concernant et bien concernant l'argument de z donc arguent de z alors l'argument de z c'est quoi donc j'avais vu qu'il y avait une formule avec la tangente mais en fait on peut trouver même plus simple on va on va faire un graphique et tu vas comprendre ce que je vais dire tout de suite donc le graphique donc je dessine le plan complexe comme d'habitude avec en abscisse lax des réelles et en ordonnée l'acce des imaginaires et je vais placer mon point z donc z1 est placé à racine de 3 / 2 / lax des réelles d'accord et à 1/2 sur l' axe d imaginaires donc mon z et dc voilà z donc ici et bien la distance de ce vecteur la part dont la la la longueur de ce vecteur là et bien je les calculer tout à l'heure c'est un maintenant ce que je cherche à savoir c'est donc l'argument de z c'est à dire d'état cet angle ici donc d'état qu'est ce que c'est bien tu est à ce que j'avais vu tout à l'heure c'est que c'était l'arc tangente l'arc tangente 2 et bien b / donc en prenant cette notation ici pays sûr donc ici ce serait pareil que de dire c'est l'arc tangente l'arc tangente donc de becker ce que cbc 1/2 sur a donc sur racine de 3,2 me donc si tu refais la simplification et bientôt obtenir à tangente de 1 sur racine de trop bons mais ça c'est pas intuitif pour toi tu savoir exactement quelle est la valeur de cette de 7,2 cette fonction là avec un sur racine de 3 donc wait on va regarder si tu peux utiliser une autre fonction que tu connais bien sûr ce principe là ce qu'on avait dit tout à l'heure aussi c'est que b b était égal à air sinus d'état et donc ça veut dire que si l'ust état ici sinus d'état c'est égal à b / r donc qu'est ce que c'est que b20 b c'est un demi et r je sais que c'est égal à 1 donc un demi sur un ça nous fait toujours un demi et sinus et à égal 1/2 bea là on connaît cette fonction là c'est bien et on peut tout de suite voir que et bien d'état est égal à 30 degrés voilà donc maintenant pour passer à la forme exponentielle et bien pour passer à la forme exponentielle j'ai besoin de teta en radiant et donc d'état en radiant ici ça va me donner est égal à pi sur six radios donc pour passer à la forme exponentielle la forme exponentielle si tu te rappelles c'était z est égal à r2e de y d'état dont care est égal à 1 dans ce cas là je connais tes tard c'est égal api sur six donc eh bien c'est égal à exponentielle de hippie sur six et voilà donc la forme exponentielle et bien de ceux nombreux