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Cours : 6e année secondaire - 6 h > Chapitre 11
Leçon 5: Forme trigonométrique et formule d'Euler- Forme exponentielle d'un nombre complexe - Exercice
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe - Produit et quotient de deux nombres complexes - Formule de Moivre
- Les différentes formes d'un nombre complexe
- Exercices mettant en jeu une puissance d'un nombre complexe
- Exercices mettant en jeu une puissance d'un nombre complexe
- Utiliser la forme exponentielle pour trouver des racines complexes
- Diviser des nombres complexes en utilisant leur forme exponentielle
- Multiplier ou diviser des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique
- Interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes
- Interprétation géométrique des puissances d'un nombre complexe
Les différentes formes d'un nombre complexe
La forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.
Les trois formes d'un nombre complexe
Algébrique | ||
Trigonométrique | ||
Exponentielle |
Forme algébrique
Sous cette forme, la partie et la partie du nombre complexe sont en évidence.
C'est la forme la plus adaptée si on doit additionner ou soustraire deux nombres complexes.
Dans le plan complexe l'image du nombre complexe est le point d'abscisse et d'ordonnée .
La vidéo Représenter un nombre complexe dans le plan complexe et la vidéo Additionner des nombres complexes.
Forme trigonométrique
Sous cette forme c'est et du nombre complexe qui sont en évidence. Si est le point du plan complexe d'affixe , le module de est la longueur du segment . Le module est noté avec le symbole de la : . Un argument de est l'une des mesures de des demi-droites notées et dans certains pays et et dans d'autres pays
Si on développe la forme trigonométrique de , on obtient sa forme algébrique :
Si est le nombre complexe de module et dont un argument est et le nombre complexe de module et dont un argument est , alors le module de leur produit est et un des ses arguments est .
Forme exponentielle - Formule d'Euler
Sous cette forme, c'est aussi le et un du nombre complexe qui sont en évidence. Il suffit de regarder comment s'écrit le produit de deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle pour se rendre compte de ses avantages et de sa simplicité :
C'est Euler qui a établi que quel que soit le réel , . Le raisonnement est le suivant : soit la fonction . On démontre facilement que . Et Euler l'a rapproché du fait que si alors .
Bien sûr l'égalité qui lie la forme exponentielle d'un nombre complexe et sa forme trigonométrique est :
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