Interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes

On sait multiplier deux nombres complexes qu'ils soient sous forme algébrique ou sous forme trigonométrique. En particulier, si les deux nombres sont sous forme trigonométrique, pour les multiplier on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments :

On peut visualiser ce qu'il se passe.

Que devient le point $A$‍ du plan complexe d'affixe $z_1$‍ si on multiplie $z_1$‍ par $z$‍ ? Plus précisément, quelle est la transformation appliquée au point $A$‍ ? Si $z=r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍. D'après la règle rappelée plus haut, on multiplie le module de $z_1$‍ par celui de $z$‍ et on ajoute à l'argument de $z_1$‍, celui de $z$‍. On en déduit que la transformation appliquée à $A$‍ est l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport $r$‍, suivie de la rotation de centre $O$‍ et d'angle $\theta$‍.

Si $z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍, le rapport de l'homothétie est $2$‍ et l'angle de la rotation est ${30}^{\circ }$‍ :

Si $z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍, son module est

et l'un de ses arguments est $-{45}^{\circ }$‍. donc le rapport de l'homothétie est ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{0,471}$‍, et la rotation est la rotation de ${45}^{\circ }$‍ dans le sens rétrograde.

Si $z=-2$‍, son module est $2$‍ et l'un de ses arguments est ${180}^{\circ }$‍, donc le rapport de l'homothétie est $2$‍ et l'angle de la rotation est l'angle plat.

Une autre façon de visualiser ces deux transformations est de placer le point d'affixe $1$‍ et le point d'affixe $z$‍. En effet, quel que soit $z$‍, $z\times 1=z$‍, donc il suffit de repérer par quelle homothétie suivie de quelle rotation le point d'affixe $1$‍ a comme image le point d'affixe $z$‍. Étant bien entendu que l'image de l'origine $O$‍ est $O$‍ car quel que soit $z$‍, $z\times 0$‍ = $0$‍.

Il est intéressant de voir que des résultats aussi simples que $z\times 1=z$‍ et $z\times 0=0$‍ sont d'une grande aide pour visualiser la multiplication des nombres complexes.

Que se passe-t-il si on multiplie par un nombre complexe $z$‍, puis par son conjugué $\overline{z}$‍ :

Si un argument de $z$‍ est $\theta$‍, un argument de $\overline{z}$‍ est $-\theta$‍, donc l'angle de la rotation associée à la multiplication par $z$‍ suivie de la multiplication par son conjugué est nul. On peut effectivement vérifier que l'image du point d'affixe $1$‍ est sur l'axe des abscisses.

Et le module ? Les deux nombres ont le même module, $|z|=|\overline{z}|$‍, donc le rapport de l'homothétie qui résulte de la multiplication par $z$‍ puis par $\overline{z}$‍ est $|z|\times |\overline{z}|=|z{|}^2$‍.

Ce n'est pas vraiment surprenant dans la mesure où $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍ mais c'est toujours intéressant d'utiliser un autre éclairage !

Que devient le point $A$‍ d'affixe $z_1$‍ si on divise $z_1$‍ par $z$‍ ? Si un argument de $z$‍ est $\theta$‍ et son module $r$‍, l'image du quotient de $z_1$‍ par $z$‍ est le transformé de $A$‍ par la rotation de centre $O$‍ et d'angle $-\theta$‍ suivie de l'homothétie de centre $O$‍ et de rapport ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍.

Un argument de $\sqrt{3}+i$‍ est ${30}^{\circ }$‍ et son module est $2$‍, donc la transformation est une rotation d'angle ${30}^{\circ }$‍ dans le sens rétrograde suivie d'une homothétie de rapport ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍.

Un argument de ${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ est $-{45}^{\circ }$‍ et son module est

Donc l'angle de la rotation est $+{45}^{\circ }$‍ et le rapport de l'homothétie est ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx \mathrm{2,121}$‍

On peut remarquer que cette transformation est celle dans laquelle le point d'affixe $z$‍ a comme image le point d'affixe $1$‍.

Si $z=a+bi$‍ et $w=c+di$‍, pour calculer ${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍ on multiplie les deux termes de la fraction par le conjugué de $w$‍, $\bar{w}=c-di$‍.

Donc diviser par $w$‍ revient à multiplier par ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍. Peut-on en donner une interprétation géométrique ?

Si un argument de $w$‍ est $\theta$‍ et son module $r$‍, les transformations associées à la division par $w$‍ sont la rotation d'angle $-\theta$‍ et l'homothétie de rapport ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍. L'argument de $\bar{w}$‍ est l'opposé de l'argument de $w$‍, donc si on multiplie par $\bar{w}$‍ l'angle de la rotation est bien $-\theta$‍. Mais le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par $\bar{w}$‍ est $r$‍ et non pas son inverse, donc pour corriger on doit diviser par $r^2=|w{|}^2$‍.

Par exemple, si on divise par $1+2i$‍, graphiquement on a :

Si on commence par multiplier par son conjugué $1-2i$‍ et que l'on divise ensuite par le carré de son module $|1+2i{|}^2=5$‍, on a :

On obtient le même résultat.