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6e année secondaire - 6h

Cours : 6e année secondaire - 6h > Chapitre 10

Leçon 1: Les imaginaires purs

Les puissances de i

Comment simplifier les puissances de i. Par exemple, comment établir que i²⁷ = -i.

On sait que i, equals, square root of, minus, 1, end square root et que i, squared, equals, minus, 1.

Mais qu'en est-il de i, cubed ? de i, start superscript, 4, end superscript ? et des autres puissances de i ? Comment les calculer ?

i, cubed et i, start superscript, 4, end superscript

Les règles de calcul sont les mêmes que dans l'ensemble des réels.

On calcule i, cubed et i, start superscript, 4, end superscript.

i, cubed, equals, i, squared, times, i. Mais i, squared, equals, minus, 1, donc :

\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\times i\\ \\ &={ -1}\times i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}

De même i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, times, i, squared. Et comme i, squared, equals, minus, 1 on obtient :

\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\times i^2}}\\ \\ &=({ -1})\times ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}

D'autres puissances de i

On calcule de la même façon les puissances suivantes de i :

\begin{aligned} i^5 &= {i^4\times i}&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=1\times i&&{\gray{\text{car }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\times i^2}&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=1\times (-1)&&{\gray{\text{car }i^4=1\text{ et }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\times i^3}&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=1\times (-i)&&{\gray{\text{car }i^4=1\text{ et }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\times i^4}&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=1\times 1&&{\gray{\text{car }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}

On obtient :

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

On devine la suite...

Les puissances successives de i semblent être une succession périodique de start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab et start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

D'après cette conjecture, on peut trouver i, start superscript, 20, end superscript.

On écrit les 20 premiers termes de cette suite périodique :

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

i, start superscript, 20, end superscript serait égal à start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Peut-on le démontrer ?

\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&{\gray{\text{}}} \\\\ &= 1^5 &&{\gray{\text{}}} \\\\ &= \goldD 1 &&{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Et l'on a bien i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Les puissances de i

Supposons que l'on cherche i, start superscript, 138, end superscript. On peut écrire la suite start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... jusqu'au 138, start superscript, start text, e, with, \`, on top, m, e, end text, end superscript terme, mais ça peut prendre du temps !

i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1,... et de façon générale i élevé à une puissance multiple de 4 est égal à 1.

Ce résultat et les propriétés des puissances permettent de calculer i, start superscript, 138, end superscript.

Exemple

Calculer i, start superscript, 138, end superscript.

Réponse

138 n'est pas un multiple de 4, mais 136 oui ! C'est donc 136 qui va nous permettre de calculer i, start superscript, 138, end superscript.

\begin{aligned} i^{138}&=i^{136}\times i^2&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=(i^{4\times 34})\times i^2&&{\gray{136=4\times 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\times i^2&&{\gray{\text{}}} \\\\ &=(1)^{34}\times i^2 &&{\gray{i^4=1}} \\\\ &=1\times (-1)&&{\gray{i^2=-1}} \\\\ &=-1 \end{aligned}

Donc i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

On peut se demander pourquoi on a écrit i, start superscript, 138, end superscript, equals, i, start superscript, 136, end superscript, times, i, squared.

C'est parce que l'exposant n'était pas un multiple de 4. On a donc cherché le multiple de 4 le plus proche, tout en restant inférieur. Le but est de descendre à i, i, squared ou i, cubed grâce au résultat connu i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.