Les nombres complexes

L'équation $x^2=-1$x, squared, equals, minus, 1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a deux dans un nouvel ensemble de nombres qui est appelé l'ensemble des nombres complexes.

Le nombre $i$i est à la base de l'ensemble des complexes.

Les nombres de la forme $bi$b, i, où $b$b est un réel différent de $0$0, comme par exemple, $3i$3, i, $i\sqrt{5}$i, square root of, 5, end square root ou $-12i$minus, 12, i sont appelés des imaginaires purs.

Les nombres de la forme $a+ib$a, plus, i, b où $a$a et $b$b sont des réels différents de $0$0, par exemple, $2+7i$2, plus, 7, i ou $3-\sqrt{2}i$3, minus, square root of, 2, end square root, i sont appelés des nombres complexes.

L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, où $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 et $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd sont des réels.

Si $z=a+ib$z, equals, a, plus, i, b, $\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 est la partie $\greenD{\text{réelle}}$start color #1fab54, start text, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #1fab54 de $z$z et $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd est sa partie $\blueD{\text{imaginaire}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #11accd.

Voici des exemples. Pour identifier la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe, ce peut être une bonne habitude d'écrire ce nombre sous la forme $a+bi$a, plus, b, i.

L'ensemble des réels et l'ensemble des imaginaires purs sont des sous-ensembles de l'ensemble des complexes. En effet,

De même, un réel est un nombre de la forme $\textit{a+bi}$start text, a, plus, b, i, end text avec $\textit{b=0}$start text, b, =, 0, end text.

Donc tout nombre de l'ensemble des imaginaires purs appartient à l'ensemble C des nombres complexes et tout nombre de l'ensemble des réels appartient à l'ensemble C des nombres complexes

Un nombre complexe tel que $4+2i$4, plus, 2, i n'est ni un réel, ni un imaginaire pur.

Voici cinq exemples de nombres complexes :

NB. Les cinq nombres donnés sont tous des nombres complexes.

A quoi servent-ils ? Peut-être ne le croirez-vous pas, mais ils ont beaucoup d'applications, par exemple en électricité ou en mécanique quantique, pour ne citer que ces deux exemples.

En algèbre, on démontre que tout polynôme quel que soit son degré a des racines dans l'ensemble des complexes.

Par exemple, le polynôme $p(x)=x^2-2x+5$p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5 qui n'a pas de racines dans l'ensemble des réels a deux racines dans l'ensemble des complexes : $1+2i$1, plus, 2, i et $1-2i$1, minus, 2, i.

Cette leçon n'est que le début d'une longue histoire...