Exercice sur les nombres complexes 4/4

soit oméga le nombre complexe cos depuis sur trois plus ici depuis sur 3 quelles sont les aides qu'ils satisfont et bien se déterminant la est égal à zéro donc pour trouver ça eh bien on va essayer de résoudre ce déterminant la et donc de le calculer donc on va commencer par le calcul est ensemble et bien pour calculer ça et on commence par prendre z plus sain qu'on va multiplier en fait part et bien le déterminant de cette sous matrice ici 2 2 donc je vais écrire ça ici donc qu'est ce que c'est que ce déterminant l'a33 et bien c'est z plus un facteur de du déterminant de la matrice z plus oméga au carré 1 1 et z plus omega ensuite si on regarde le deuxième terme ici ce sera moins oméga cette fois-ci facteur de la matrice oméga oméga carré un z plus oméga donc voilà le déterminant est le dernier terme le dernier terme ce sera avec oméga carré donc plus oméga carré par le déterminant de la matrice est bien celle qui reste ici donc c'est à dire oméga oméga carré z plus oméga carré donc on va calculer ça ensemble qu'est ce que ça fait donc ça nous fait the head plus un facteur de z plus oméga carré facteur de z plus oméga - zain voilà ensuite c'est herman rossano fait - omega facteur de oméga z plus oméga - omega carré et ensuite le dernier terme en violet c'est plus oméga carré oméga - omega carré z plus oméga carré voilà donc dans un premier temps ce qu'on va faire c'est qu'on va développer ses expressions pour simplifier un petit peu et bien cette expression total donc ici et bien donc je les aide plus un facteur de donc ici dans cette expression là je vais développer donc jay z carré plus oméga z plus oméga carré z plus oméga occupe et tout ça - 1 donc ensuite eh bien j'ai bon je vais continuer en fait sur cette expression là en vert on voit encore développer ici donc je vais avoir z au cube plus oméga z au carré plus oméga carré z au carré plus + z oméga cube - z et c'est pas fini j'ai ensuite encore un parent tout ce qui est en parenthèse ici donc plus zen karé plus oméga z plus oméga carré z plus oméga au cube - the use bon et on continue ensuite avec l'expression en rose ici donc qu'est ce qu'on a ici et bien ce qu'on peut voir déjà en regardant ici c'est quand je vais développer ici je vais avoir oméga z plus oméga carré - omega carré donc en fait ici ça va se simplifier cette chose là ça va simplifier donc il va me rester oméga z fois oméga donc - omega carré de z donc ça c'est un peu plus simple ensuite de l'autre côté est-ce que j'ai quelque chose qui se simplifient ici donc j'aurai oméga carré z plus n'ont donc a priori ça ne simplifie pas donc on va tous développé ici donc plus plus au méga au cube issy ensuite je vais avoir - omega puissance quatre z donc mon oméga puissance 4 z et ensuite eh bien je vais avoir - ou là ça va être compliqué ça oméga puissance 6 - omega à la puissance 6 est ce qu'on ne doit pas oublier ici c'est que on résout pourrait bien ça est égal à zéro je l'avais oublié de le marquer tout à l'heure mais ici c'était bien ça ton croëzou pour ça est égal à zéro donc maintenant ce qu'on va faire c'est qu'on va regrouper les termes ensemble donc on va regrouper les aides cube ensemble est-ce qu'on a d'autres études que celui là ici et bien apparemment non donc on aura des tubes plus donc maintenant on va regrouper les aides carré ensemble donc où sont les écarts et il y en a ici un ici un ici et c'est tout donc en fait pour les aides car et on a donc oméga plus oméga au carré plus un facteur de z au carré maintenant ce qu'on va faire c'est regrouper les aides ensemble donc les aides j'en ai un ici un ici un ici un ici un ici et un ici donc je vais tous les regrouper donc je vais avoir quoi je vais avoir eh bien je vais avoir oméga au cube j'ai un oméga puissance 4 ici donc - omega puissance 4 ensuite pour les les oméga carré est ce que j'en ai plusieurs oui en fait j'en ai deux là qui s'annulent donc tant mieux je les ai pas vu avant et ensuite pour les oméga et bien j'ai encore plus oméga ici et ici et bien j'ai un moindre - z et donc qu'est-ce qui me restent ici et bien il me reste plus aux méga ^ 3 ici ici aussi et moins donc je vais leur écrire je vais les réécrire d'une autre couleur jeu en orange donc il me reste plus de zoo méga 3 celui là celui ci et il me reste aussi donc moins oméga à la puissance 6 - un saint est égal à zéro donc maintenant ce qu'on va faire c'est se poser la question c'est qu'est ce que c'est que mes gars qu'est ce que c'est comme égaré qu'est ce que c'est que mes gars cube et c'est alors omegas et ses causes de deux types sur trois plus ici luce 2 2 puis sur trois donc je le remarque ici cause de pi sur trois plus is in us 2 2 puis sur trois donc ça qu'est ce que c'est et bien si je prends la formule de l'air je peux tout de suite voir que c'est exponentiel de i2 de pi sur trois voire en d'autres termes encore donné cartésienne qu'est ce que c'est et bien je verrai je prends le circuit unités et regardez qu'est ce que ça me donne j'ai mon axe d imaginaires mon accéder réel voilà et donc qu'est ce que c'est que depuis sur trois est bien depuis sur trois c'est ce point là donc pour trouver les coeurs des cartes et ziege dont je projette sur l'accès des réelles et donc j'ai la partie réelle ça c'est moins un demi voilà et si je projette sur l' axe d imaginaire je trouvais que ses racines de 3 sur deux donc la partie réelle c'est moins un demi et la partie imaginaire ses racines de 3 sur deux y donc maintenant si je veux calcul et oméga au carré qu'est ce que c'est et bien oméga au carré je peux utiliser ce que j'ai trouvé avec la formule de l'air et mettre ça au carré trouvez que c'est exponentiel de i 4 pi sur trois donc j'ai mis ça au carré j'ai juste donc appliquer la propriété des puissances sur ce cas là donc qu'est ce que c'est que 4 pi sur trois donc si je regarde on dirait un complexe donc c'est ce point ici est ce que tu vois c'est que et bien la projection de ce point là sur l'accès des réelles ce sera aussi moins un demi de pour la partie réelle et pour la partie imaginaire ce sera moins racines de 3 sur devait le marquer ici donc c'est égal à moins un demi - racines de 3 sur deux ici maintenant si je regarde oméga occupe qu'est ce que c'est bien c'est comme si je rajouter 2 pi sur trois à cette expression ici à l'expo nantes donc j'ai y de 6 pi sur trois donc c'est quoi y exponentielle de i de 6 pi sur 3 6 puis sur trois ces deux pays donc c'est exponentiel de i2 2 pi et donc eh bien eh bien c'est ce point ici donc il ya pour partie un réel donc oméga à la puissance 3 c'est tout simplement un donc maintenant si je regarde et bien si je regarde oméga à la puissance 4 qu'est ce que ça va être eh bien ça va être donc je rajoute encore depuis sur trois ici donc je vais avoir est exponentielle de i2 depuis sur trois puisqu'en fait ici hideux de pisser 0 et donc je veux me retrouver à la place du point rouge ici donc ça va être la même chose et je vais retrouver donc eh bien je vais retrouver - 1/2 - 1/2 plus racine de 3 sur deux donc tu vois l'idée en fait c'est à dire que omega à la puissance 5 je vais retrouver là sur ce point bleu et donc oméga à la puissance 6 ça va être exactement égal à oméga à la puissance 3 donc maintenant que je sais ça est bien est ce que je peut simplifier un petit peu mon expression ici tu vas voir que oui donc on va on va essayer ensemble et bien oméga ckoi et bien oméga c'est moins 1/2 - 1/2 plus racine de 3 sur deux y donc plus oméga carré donc plus - 1/2 - racines de 3 sur deux y est plus difficile et plus racine de 3 / 2 zee et - racines de 3 / 2 issa nul ici j'ai moins un demi - 1/2 - 1 - 1 + 1 eh bien ça me fait zéro est donc ici cette expression la c zéro ça s'annule total donc je continue ici oméga-3 ckoi et bien c'est un moins oméga iv c'est à dire moins donc moins - 1/2 donc plus un demi - racines de 3 sur deux y plus oméga et bien oméga ça fait moins un demi plus racine de 3 sur deux y est moins 1 donc ici bien moins racines de 3 sur deux y plus racine de 3 sur deux y ça s'annule les 1/2 s'annulent aussi et les uns s'annulent aussi donc ce terme là et aussi 0 et s'annule donc maintenant on va regarder ce qu'on a avec 2 oméga au cube - omega la puissance 6 et bien de oméga occupe ça nous fait deux mois un millier à la puissance si ça nous fait moins un est ici moins 20 donc en fait ici ça s'annule ce que ça veut dire donc c'est que même à grosse expression ici et bien elle se simplifient à z au cube est égal à zéro et donc qu'est né de nombreuses aides qui vérifie cette équation et bien c'est tout simplement z est égal à zéro ici