Décomposition en éléments simples

ok entraînons nous a décomposé une autre fraction rationnelle en éléments simples ap alors on va prendre par exemple 10 x car et + 12 x + 20 sur x cube -8 bien cette fois ci on a un dénominateur qui est de degré 3 eh bien il va falloir le factoriser parce que la première chose à faire c'est de trouver les valeurs de x qui annule le dénominateur les valeurs je sais pas si je les dis les valeurs de x qui annule le dénominateur s'appelle des pôles 1 et de toute manière qu'il y en ait un qui n'est pas il nous faut factoriser ce dénominateur et on va rester dans l'ensemble des nombreux réel on va faire tout ce travail dans l'ensemble des nombres réels dans r1 pas danser maintenant donc comment je vais factory c'est x cube - 8 alors de deux choses l'une soit tu reconnais dans x cube -8 l'identité remarquable à au cube - b au cube et tu connais l'identité remarquable qui dit cao q - b au cube est égal à à - b facteur 2 à o car est plus à b + b au carré je l'écris pas parce que je vais me placer dans la deuxième option la deuxième option c'est celle où tu ne connais pas cette identité remarquable dans ce cas là tu cherches une racine évidente ainsi tu connais cette identité remarquable évidemment la factorisation est déjà toute faite par l'identité mais là on va essayer de trouver une racine évidente de x cube - 8 c'est à dire un nombre qui est pas trop dur et qui annulent x cube - 8 alors quand on dit racines évidente en général on se borne à essayer - 2 - 1 0 1 et 2 alors effectivement là on s'aperçoit assez rapidement que 2 occupe ça fait 8 etc ont donc que la valeur que x égal 2 va annuler le dénominateur donc on a x égal 2 qui est inséré qui est ce qu'on appelle un pôle de cette fraction rationnelle qui est un une des racines du dénominateur donc 2 et un pôle une racine du dénominateur ça veut dire que x cube u18 peu ce factoriser en x - 2 x un autre pauline donc ça veut dire que ma fraction rationnelle va pouvoir s'écrire 10x carré plus 12 x + 20 sur x moins deux facteurs de un autre polynôme que j'écris pour l'instant comme ça vaguement mais qu'on va devoir déterminer voilà 6 2 et racine alors le polynôme ce factories par x - 2/6 ça c'est ça c'est un des théorèmes fondamentaux ci est née racines le polynôme ce facteur historique ce point zen donc nous on sait déjà c'est déjà une bonne information que x cube - 8 se présente sous la forme d'un produit x moins deux fois un autre polynôme alors comment faire pour trouver cet autre polynôme et bien il ya plein de méthode on peut identifier les coefficients puisqu'on sait que ça va ce factoriser on peut procéder par identification de coefficient une autre une méthode assez standard c'est aussi de faire la division euclidienne 2 x cube moins 8 par x - 2 alors c'est ainsi qu'on va procéder on va poser la division euclidienne 2 x cube on a huit par x - 2 alors x cube - 8 il faut que je laisse de l'espace entre les x cube et le 8 pour les termes de degré intermédiaire que je veux obtenir la division / x - 2 alors comment est-ce qu'on procède alors j'ai gx je veux x cube je dois x x o car est d'accord pour pouvoir pour pouvoir annuler le x cube quand je soustrais donc je met un x au carré xo carey x x - 2 bat xo carey price a fait x cube et comme je retranche jeu mais moins x cube x au carré fois moins deux ça fait moins 2 x carré et comme je retranche je change le signe je mette plus de x carré voilà et je re tranche c de paulino mlle x cube slicks cube s'annulent exactement comme on le voulait et il nous reste 2 x carré et le moins huit que je reporte et on recommence gx je veux 2x carré il faut donc que je multiplie par 2 x donc je rajoute + 2 x aux cautions 2 x x x a fait 2 x car et que je retranche donc je mets moins de six carrés 2 6 fois moins deux ça fait moins 4 x que je retranche donc je change le signe jamais plus 4x et je fais la différence entre les deux les x caressa nul comme il le faut j'ai plus 4x et le moins vite que je reporte maintenant g x et je veux 4x donc je dois rajouter un +4 au quotient 4 x x - deux ça fait 4 x -8 que je retranche donc j'obtiens - 4 x + 8 et il me reste donc bien zéro ce qui est une confirmation supplémentaire s'il en fallait une que 2 est une racine que ce polynôme du dénominateur ce factories en x - 2 mais cette fois c'est bon c'est que ces x points 2 x x car et + 2 x + 4 voilà on a trouvé comme caution x car et + 2 x + 4 la division tombe juste il reste à zéro donc exclue - 8 on a ça factorisation et notre fraction rationnel que l'on voulait des composés tendres et décomposée en éléments simples c'est donc elle peut donc s'écrire sous la forme 10 x car et + 12 x + 20 / x - 2 x qu'est-ce qu'on avait trouvé au quotient par x 2 x car et + 2 x + 4 encore une fois si vous connaissiez vos identités remarquables du troisième degré vous obteniez ça en une ligne et en deux minutes mais bon c'est toujours bon de le rappeler au cas où on a un doute avec les identités remarquables ans quand on ne trouve pas on peut toujours procédé ainsi voilà donc nous avons deux facteurs du dénominateur nous allons donc chercher deux fractions à décomposer pardon cette fraction rationnelle en somme de deux fractions rationnel avec une qui a pour dénominateur x - 2 l'autre qui apporte dénominateur x car et +26 +4 et je dois avoir à chaque fois au numérateur d'effraction rationnelle des numérateur qui sont deux degrés inférieures au dénominateur à oui tiens ça je l'avais pas dit au début un autre fraction rationnelle qui nous a été donné dans l'énoncé alain degrés le degré numérateur est inférieur à celui du dénominateur donc elle n'a pas de parties entières c'est pour ça qu'on a directement chercher à décomposer en éléments simples si le degré du numérateur avait été supérieur ou égal au degré d'une et dominateur il aurait fallu poser la division euclidienne comme on l'a fait à la vidéo précédente pour avoir la partie entière mais là cette fois comme le degré du numérateur est bien inférieur au degré du dénominateur nous n'avons pas de problème de parties entières et nous avons nous allons avoir comme des compositions uniquement une somme d'éléments simples donc un élément simple avec x - 2 qui est de degré 1 et au numérateur un degré inférieur donc ça être une constante que j'appelle à et un autre l'autre élément de la somme sera un pauline une fraction rationnel avec au dénominateur no tricks carré + 2 x + 4 et c'est un dénominateur de degré 2 donc le numérateur et 2 degrés au maximum 1 donc le numérateur pourra toujours s'écrire sous la forme bx plus c'est sur x car et + 2 x + 4 avec éventuellement un b qui est égal à zéro mais de toute manière le numérateur pourra toujours s'écrire sous cette forme là je suis certain que ma décomposition en éléments simples va ressembler à ça et d'ailleurs si j'essaye d'additionner c'est de faire l'addition de ces deux fractions avec les allées ps et que je viens d'écrire j'obtiendrai bien dénominateur commun qui équivaut au dénominateur que j'ai à gauche du signe égal donc tout ce qui nous reste à trouver sont les valeurs des nombres à b et c qui rendent cette égalité vrai et nous savons qu'il existe d'unique valeur de ces nombres qui rendent cette égalité vrai alors comment faire eh bien on va essayer de se remémorer la manière de procéder en additionnant ces fractions en effectuant la mise au même dénominateur pour identifier les numérateur en fait on pourrait aller jusqu'au bout de cette logique identifie les coefficients ça nous ferait de gros systèmes d'équations à résoudre on va essayer d'être un petit peu plus loin avec ça on va voir donc effectuons cette addition de fractions donc notre première fraction assure x - 2 pour la mettre dénominateur commun qui est le dénominateur qui est écrit en vers la gauche notera sur x - 2 il va se transformer en ah je vais multiplier en haut et en bas par x car et + 2 x + 4 d'accord donc je vais obtenir que c'est égal a à x 2 x car et xk réparé dont + 2 x + 4 / le dénominateur commun c'est à dire x points 2 sur x x car et + 2 x + 4 prend le temps de bien suivre mais la pause pour y réfléchir si nécessaire tu dois bien savoir qu'on fait tout simplement une addition de fractions avec réduction même dénominateur ensuite le bx plus c'est pour voir le dénominateur commun je multiplie par x points 2 voilà le dénominateur c'est le dénominateur commun et là je me dis les deux fractions que j'ai écrite à gauche et à droite du signe égal ont le même dénominateur donc pour qu'elle soit égal il faut que les numérateur soit égaux donc il faut que j'aie xk 10x carré plus 12 x + 20 qui soit égal à à facteur 2 x car et +26 +4 plus mon bx plus c'est le tout facteur 2 x - 2 et l'a donc tout ce qui nous reste à faire c'est trouver à baisser pour que cette égalité soit vrai pour toute valeur de x donc on pourrait tous développé identifier les coefficients et obtenir des systèmes d'équations à trois inconnues maintenant on va peut-être préféré faire plus simple comme on l'avait fait à la vidéo précédente comme c'est vrai pour toutes cette égalité est vrai pour toute valeur de x on peut peut-être choisir de substituer une valeur de x qui nous rend les choses un petit peu plus simple alors moi je vois une valeur de x qui va nous n qui va nous faire disparaître deux des trois nombre a baissé que l'on recherche et ça c'est très bien parce qu'il va nous rester qu'un et s'il nous en reste le cas on aura aucun problème à le trouver ce que tu la vois et bien là il faut voir que si on remplace x par deux tout ce qui est bx plus c'est x x moins de 20 de moins de save a donné zéro tout ça ça va ça nul est donc là quand je vois ça j'ai très envie de remplacer mon x par deux si cette égalité est vrai pour toute valeur de xl est vrai en particulier pour x égal 2 et partout je vais remplacer x par deux et ça va me faire disparaître mon bébé mon c'est donc 10 x 2 au carré c'est dix fois 4 + 12 x 2 c'est à dire 24 +20 voilà ce que devient le membre de gauche et le membre de droit tu remplaces x par deux à facteur de 4 + 2 x 4 qui font qu'à deux voix deux qui font quatre plus encore 4 plus bas à bx plus ces facteurs de 2 - 2 ça va être de moins de sa fait zéro donc il reste plus rien de ce côté là et voilà on a plus qu'à avec une équation du premier degré très facile à trouver le membre de gauche fait 84 égale 12 ha et a plus que divisé par 12 et on obtient un régal sept ans voilà déjà un donc on a mis la main sur le à nos travaux 7 il n'ya plus qu'à trouver le b et le c donc pour trouver le b et le c il faut le faire en sachant qu à égal cette fête que la gale 7 c'est une information va s'en servir on va continuer dans tous les autres et c'est qu'on va faire à substituer à égal cette maintenant sachant que à égal 7 est ce qu'on pourrait substituer qu'il nous fasse ce disparaître soit le b soit le sait eh bien on peut s'apercevoir si on substitue x égal zéro comme on a b x on va avoir des x 0 levé x 10 pas le b va disparaître x égal zéro en plus c'est très facile à substituer parce que partout il ya x ça va disparaître donc on va voir les calculs vont être très facile donc on substitue x égal zéro à gauche du signe égal j'obtiens 10x carré plus tout six s'en va il reste plus que 20 20 égal à facteurs de cette sépare dont ac 7 donc mais c est facteur de bain tout ça c'est zéro il reste 4 6 7 x 4 + b x ça vaut zéro donc il me reste plus c'est que je connais pas x 0 - 2 1 c'est à dire x - 2 et voilà une équation toute simple qui va nous donner c'est en deux temps trois mouvements vin est égal à cette fois 4 28 - 2 c ce qui veut dire que deux c'est ça doit être égale à 8 pour que cette égalité soit vrai et donc en divisant par deux on obtient c'est égal 4 et on dit que le vin fait 28 - 8 donc non de cesser 8 et on obtient ses qui est égal à 4 et voilà on a presque fini on a presque tout trouvé il nous manque plus que le bea lors comment on va trouver le b donc qu'est-ce qu'on va on voit déjà récapituler ce qu'on a donc 10 x heures et plus 12 x + 20 est égal à donc notre à c'était 7,7 facteur 2 x car et + 2 x + 4 + lebescond connaît pas encore donc ça fait bx plus le sait on a trouvé 4 x x - 2 voilà ce qu'on sait jusqu'à présent il nous reste plus qu'à trouver le bel et bien comme baisser le dernier coefficient qu'ont cherché qu'à choisir une valeur de x qui va nous rendre les choses un peu commode qui vont nous rendre les choses comme mode et qui va nous permettre de trouver facilement puisque cette égalité est vrai pour toutes xe et les règles un peu pour un n'importe quel livre que je vais bien choisir qui va nous rendre les choses faciles et je peux juste pas choisir x égal zéro parce qu'à ce moment là le b disparaissent ils b disparaît je peux plus le calcul est donc on va choisir disons x égal 1 voilà ça va ça va me permettre de sa va pas me donner une substitution trop difficile et ça va me permettre de faire les calculs facilement donc 10,6 caresser 10 + 12 + 20 jeux substitut x égal à 1 partout ça me fait sept facteurs 2 1 + 2 + 4 6 7 x 7 + b x 1c b + 4 facteurs 2x moins de ses 1 - 2 c'est fois moins un d'accord donc à gauche disent + 12 +20 ça fait 42 cette fois c'est de çà fait 49 - en développement ça me fait moins b - 4 autrement dit bon enfin vraiment y aller faire ça très basique 40 de ses 45 - b et 40 de ses 45 - combien que le monde sait que 40 de ces 45 - 3 donc notre b doit être égale à 3 et donc voilà on a trouvé notre à notre b et notre c&a plus qu'à revenir à l'expo à la au modèle de l'expression en éléments simples et remplacé à b et c parce qu'on a trouvé donc notre bct 3 notre cct 4 nôtres ah si je me trompe pas ça devait être sept autrement dit ma fraction rationnelles telles que je te les données au départ se décompose sous la forme 7 sur x + 2 + 3 x + 4 / x car et + 2 x + 4 et encore une fois c'est cette décomposition là qui va nous permettre de trouver des primitives et de travailler et de faire certains travaux complexes sur ces fractions rationnelle