Le plan complexe

Par définition, le nombre $i$i est le nombre dont le carré est $-1$minus, 1.

L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, où $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 et $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd sont des réels.

Si $z=a+ib$z, equals, a, plus, i, b, $\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 est la partie $\greenD{\text{réelle}}$start color #1fab54, start text, r, e, with, \', on top, e, l, l, e, end text, end color #1fab54 de $z$z et $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd est sa partie $\blueD{\text{imaginaire}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, i, r, e, end text, end color #11accd.

Le plan complexe permet de visualiser l'ensemble des complexes de la même façon que la droite numérique permet de visualiser l'ensemble des réels.

Le plan complexe est un plan muni d'un repère orthonormé.

L'axe horizontal est appelé l'axe des réels.

L'axe vertical est appelé l'axe des imaginaires purs.

A tout nombre complexe on peut faire correspondre un point du plan complexe.

Soit par exemple, le nombre $z=3-5i=\greenD{3}+(\blueD{-5})i$z, equals, 3, minus, 5, i, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i. Sa partie réelle est $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 et sa partie imaginaire est $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

Son image dans le plan complexe est le point d'abscisse $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 et d'ordonnée $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

L'image de $z=\greenD{3}+(\blueD{-5})i$z, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i est le point de coordonnées $(\greenD{3}~; \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, space, ;, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Quel que soit $a$a et quel que soit $b$b, l'image du nombre complexe $z= \greenD a+\blueD bi$z, equals, start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i dans le plan complexe est le point de coordonnées $(\greenD a~; \blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, space, ;, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis. Si $A$A est l'image de $z$z, on dit que $z$z est l'affixe de $A$A.

Avant Pythagore personne ne soupçonnait qu'il puisse exister un nombre tel que $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root dont le développement décimal est illimité.

Aujourd'hui, "tout le monde" sait placer l'image de $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root sur la droite numérique car $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root est la longueur de la diagonale d'un carré de côté $1$1. Donc personne ne met en doute que ce nombre est un réel.

De la même façon, on est capable de placer l'image de n'importe quel nombre complexe dans le plan complexe.

Ce qui prouve que ces nombres existent et ne sont pas du tout "imaginaires".